Cho tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, $\widehat{\mathrm{BCD}} = \widehat{\mathrm{ABC} }=\widehat{\mathrm{ADC}}={90}^{\mathrm{o}}$. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ${60}^{\mathrm{o}}$. Tính thể tích  khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Trên tập hợp số phức, cho phương trình ${\mathrm{z}}^2+\mathrm{bz}+\mathrm{c}=0$ với b, c$\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng w + 3 và 2w – 6i +1 với w là một số phức. Tính $\mathrm{S}={\mathrm{b}}^3-{\mathrm{c}}^2.$ 

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-9\mathrm{x}+2\mathrm{m}+1$ và trục Ox có đúng hai điểm chung phân biệt. Tính tổng T của các phần tử thuộc tập S.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y - z - 12 = 0 và hai điểm A(1;3;16), B(5;10;21). Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua điểm A đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P). Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng $∆$ bằng

Hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên R\{-2;2} có bảng biến thiên như sau.

Hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên R\{-2;2} có bảng biến thiên như sau. 

Gọi k, l lần lượt là số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-2018}.$ Tính giá trị k + l

Cho biết ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}=3, {\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}=-2.$ Giá trị của $\mathrm{M}={\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left[5\mathrm{f}\right(\mathrm{x})+3\mathrm{g}(\mathrm{x}\left)\right]d\mathrm{x}$ bằng

Trong không gian tọa độ với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3) và C(-3;5;1). Gọi điểm D(a;b;c) thỏa mãn tứ giác ABCD là hình bình hành. Tính tổng T = a + b + c.

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{{\mathrm{x}}^2}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}+2$ với a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}=2-3\ln 2.$Tính T = a + b. 

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2;1), B(-1;2). Xác định tọa độ điểm C thuộc Ox sao cho A, B, C thẳng hàng.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0 và các điểm A(2;1;2); B(3;-2;2). Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng MA; MB luôn tạo với mặt phẳng (P) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm M thuộc đường tròn (C) cố định. Tìm tọa độ tâm của đường tròn (C).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau ${\mathrm{d}}_1: \frac{\mathrm{x}-2}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{1}=\frac{\mathrm{z}-6}{-2}$ và ${\mathrm{d}}_2: \frac{\mathrm{x}-4}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{3}.$ Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d₁ và song song với đường thẳng d₂ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $△:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}-2}{1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$ và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + 2 = 0. Mặt phẳng (Q) chứa $△$ và tọa với (P) một góc nhỏ nhất có phương trình dạng ax + by + cz + 34 = 0. Tính  

Rút gọn biểu thức vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AM} }+ \overrightarrow{\mathrm{MB}} - \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ta được kết quả đúng là:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f(2) = f(-2) = 0 và đồ thị hàm số y = f'(x) có dạng như hình vẽ. Hàm số y = ${\left[f\left(x\right)\right]}^2$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = ${\mathrm{x}}^2-\frac{16}{\mathrm{x}}$ trên đoạn [-4;-1]. Tính T = M + m.

Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Ab thay đổi và AB = x các cạnh còn lại bằng a không đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là