Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

 

* Lời giải:

Do $∆ABC$ là tam giác vuông tại A nên:

$S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow AH.BC=AB.AC$

$\iff AH=\frac{AB.AC}{BC}\iff \frac{1}{AH}=\frac{BC}{AB.AC}$

$\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{B{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}$

Mặt khác theo định lý Pytago thì:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$\Rightarrow \frac{1}{A{H}^2}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

Do đó ta có đpcm

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức diện tích tam giác theo đường cao để thiết lập hệ thức giữa các cạnh.

Dùng định lý Pytago để biến đổi và chứng minh hệ thức $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2}$​

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Định lí Pytago:

Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²

2. Định lí Pytago đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

∆ABC có BC² = AB² + AC² thì ∆ABC vuông tại A

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 4.1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

- Sử dụng định lí Py- ta-go trong tam giác vuông

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²

- Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông.

Dạng 4.2: Sử dụng định lý Py - ta - go để nhận biết tam giác vuông.

- Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.

- So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.

- Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Định lí Pi-ta-go và cách giải các dạng bài tập – Toán lớp 7 

Trắc nghiệm Định lý Py - ta - go (có đáp án)