Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc ${45}^{\mathrm{o}}.$ Tình thể tích của khối trụ.

Biết $\underset{\mathrm{x}\to +\infty }{\lim }(\sqrt{4{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+1}-(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\left)\right)=0.$ Tính a - 4b ta được

Giả sử hàm số y = f(x) đồng biến trên $(0;+\infty )$; liên tục và nhận giá trị dương trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $\mathrm{f}\left(3\right)=\frac{2}{3}$ và $\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\right(\mathrm{x}){]}^2=(\mathrm{x}+1).\mathrm{f}(\mathrm{x}).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left(\mathrm{P}\right):\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2-1,$ tiếp tuyến của (P) tại M(0;1) và trục Oy là:

Biết hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)$ có đạo hàm bằng 5 tại x = 1 và đạo hàm bằng 7 tại x = 2 Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(4\mathrm{x}\right)$ tại x = 1.

Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=3{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+2(\mathrm{m}-10)$ trên đoạn [1;3] bằng -5?

Có bao nhiêu số m sao cho phương trình bậc hai $2{\mathrm{z}}^2+2(\mathrm{m}-1)\mathrm{z}+2\mathrm{m}+1=0$ có hai nghiệm phức phân biệt ${\mathrm{z}}_1,{\mathrm{z}}_2$ đều không phải là số thực và thỏa mãn $\left|{\mathrm{z}}_1\right|+\left|{\mathrm{z}}_2\right|=\sqrt{10}.$ 

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}},\mathrm{y}=0,\mathrm{x}=0$ và x = ln8 Đường thẳng x = k (0 < k < ln8) chia (H) thành hai phần có diện tích là S₁ và S₂. Tìm k để S₁ = S₂?

Một hộp chứa 13 quả bóng gồm 6 quả bóng màu xanh và 7 quả bóng màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $\mathrm{Oxyz}$ cho điểm $\mathrm{M}(3;-1;2).$ Điểm N đối xứng với M qua mặt phẳng $\left(\mathrm{Oyz}\right)$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $\mathrm{SA}=\mathrm{AB}=\mathrm{a},\mathrm{AD}=3\mathrm{a}.$ Gọi M là trung điểm BC. Tính cos góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM).

Tính $\lim \frac{2^{\mathrm{n}}+1}{2.2^{\mathrm{n}}+3}.$

Trong mặt phẳng $\mathrm{Oxy}$ cho hai điểm $\mathrm{A}(2;3),\mathrm{I}(1;-2).$ Xác định tọa độ điểm B để I là trung điểm của AB.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm $\mathrm{A}(\mathrm{a};0;0),\mathrm{B}(0;\mathrm{b};0),\mathrm{C}(0;0;\mathrm{c}),$ trong đó $\mathrm{a}>0,\mathrm{b}>0,\mathrm{c}>0$ và$\frac{3}{\mathrm{a}}+\frac{1}{\mathrm{b}}+\frac{3}{\mathrm{c}}=5.$ Biết mặt phẳng (ABC) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình là $(\mathrm{x}-3{)}^2+(\mathrm{y}-1{)}^2+(\mathrm{z}-3{)}^2=\frac{304}{25},$ khi đó thể tích của khối tứ diện OABC nằm trong khoảng nào?

Cho hình lăng trụ đứng $\mathrm{ABCD}.{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{C}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}$ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao ${\mathrm{AA}}^{\text{'}}=3\mathrm{a}.$ Trên CC' lấy điểm M, trên DD' lấy điểm N sao cho ${\mathrm{C}}^{\text{'}}\mathrm{M}=2\mathrm{MC}$ và $\mathrm{DN}=2{\mathrm{ND}}^{\text{'}}.$ Tính cosin góc giữa hai mặt $\left({\mathrm{B}}^{\text{'}}\mathrm{MN}\right)$ và (ABCD).