Cho $m={\log }_a\sqrt{ab}$ với a,b > 1 và $P=1010{\log }_a^{2}b+2020{\log }_{b}a$. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 24π, diện tích toàn phần bằng 42π. Thể tích khối trụ là

Cho hai số phức z, w thỏa mãn $\left|z+2w\right|=3,\left|2\text{z}+3w\right|=6$ và $\left|z+4w\right|=7$. Tính giá trị của biểu thức $P=z.\overline{\text{w}}+\overline{z}.\text{w}$.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng $\frac{a}{6}$. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BB’, AC’. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng  

Cho hàm số f(x) = asinx + bcosx (với $a,b\in ℝ;b>0$), có f’(0)=1. Gọi hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) với các trục hoành, trục tung và đường thẳng x=π. Khi quay (H) quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng $\frac{17{\pi }^2}{2}$. Khi đó giá trị biểu thức $T=2021\text{a}+b^{10}$ thuộc khoảng nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, cho $\Delta ABC$ biết $A\left(2;0;0\right),B\left(0;2;0\right),C\left(1;1;3\right)$. $H\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó $x_0+y_0+z_0$ bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh AB=AC=a và thể tích bằng $\frac{a^3}{6}$. Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):x+y-z+2=0$ và các điểm $A\left(1;1;1\right),B\left(2;3;1\right)$. Mặt cầu (S) thay đổi qua A, B và tiếp xúc với (P) tại C. Biết rằng C luôn chạy trên một đường tròn cố định. Diện tích S đường tròn đó bằng

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng chục là chữ số lẻ?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-2}$, véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng d?

Cho hàm số y = e^x có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=e^x, x=-1, x=k và S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=e^x, x=k, x=1. Xác định k để S₁ = S₂.

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB=a, AC=2a quay xung quanh cạnh AB ta được một khối nón tròn xoay có đường kính l bằng bao nhiêu?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3]. Giá trị của 4M-m bằng

Xác định số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n) biết $u_9=5u_2$ và $u_{13}=2u_6+5$.

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn ${\log }_{4}x={\log }_{9}y={\log }_6\left(\frac{xy}{4}+1\right)$. Giá trị của biểu thức $P=x^{{\log }_{4}6}+y^{{\log }_{9}6}$ bằng