Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a,$B{B}^{\text{'}}=a\sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng A'B' và mặt phẳng (BCC'B') bằng

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3f\left(x\right)-2}$.

Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số $y=\frac{ax-1}{bx+c}$ có đồ thị hàm số như hình vẽ bên

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x.{\log }_2\left(32x\right)+4=0$ bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng $a\sqrt{3}$, $\widehat{BAD}=60°$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) bằng 45°. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OG và AD bằng

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : $x^2+y^2+z^2=9$ và mặt phẳng (P) :4x + 2y + 4z + 7 = 0. Hai mặt cầu có bán kính là $R_1$ và $R_2$ chứa đường tròn giao tuyến của (S) và (P) đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q) : 3y - 4z - 20 = 0. Tổng $R_1+R_2$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) : 3x - 4y + 7z + 2 = 0. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một hình parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn, hai đầu mút của parabol nằm trên nửa đường tròn cách nhau một khoảng 4 mét (phần tô đậm). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dùng để trồng hoa cúc. Biết các kích thước cho như hình vẽ. Chi phí trồng hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 120.000 đồng /$m^2$ và 80.000 đồng /$m^2$.

Chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến nghìn đồng)?

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^2-C_n^1=44$. Hệ số của số hạng chứa M trong khai triển biểu thức ${\left(x^4-\frac{2}{x^3}\right)}^n$ bằng

Cho hình chóp S.ABC có SA = a, $AB=a\sqrt{3}$, $\widehat{BAC}=150°$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCMN bằng

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=x^3+3m{x}^2+3\left(m^2-1\right)x+m^3$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khoảng (a;b). Giá trị của a + 2b bằng

Để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\sqrt{2x-x^2}-3m+4\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(\left|x-4\right|\right)+{2018}^{2019}$. Số điểm cực trị của hàm số $y=g\left(x\right)$ bằng

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích $V=\frac{1}{6}$, góc $\widehat{ACB}=45°$ và $AD+BC+\frac{AC}{\sqrt{2}}=3$. Hỏi độ dài cạnh CD?

Đặt $a={\log }_{3}4$, khi đó ${\log }_{16}81$ bằng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;2;1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-5;2;-4\right)$ bằng