Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh  AC=$\sqrt{2}a$, đường thẳng AB' tạo với mặt phẳng đáy một góc. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f\left(x\right)=6x^{2}f\left(x^3\right)+\frac{3}{\sqrt{3x+1}}$. Giá trị ${\int }_0^2\left(x+1\right)f\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có đỉnh A(0;4) nhìn hai tiêu điểm $F_1,F_2$ dưới một góc bằng ${120}^{\circ }$. Phương trình chính tắc của elip đã cho là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-20;20\right]$ để bất phương trình $2^{2x+1}-12m.2^{x-1}+5m^2-10<0$ có nghiệm thực?

Tổng các nghiệm của phương trình $\cos 2x+5\sin x-3=0$  trên khoảng $\left(0;10\mathrm{\pi }\right)$  bằng

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $f\left(ab+bc+ca+3\right)$+$f\left(2-2a^2-2b^2-2c^2\right)=1$ với hàm số $f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+4}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2-\frac{1}{a+b+c+3}$ bằng

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\sqrt{3}a$. Góc giữa đường thẳng B'C với mặt phẳng đáy bằng

Biết $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{x+2}{2x-1}$ cách đều hai điểm $M\left(0;2\right),N\left(2,0\right)$. Giá trị biểu thức $p=x_1+x_2-2x_1{x}_2$  bằng

Từ một miếng tôn hình tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$ , người ta dùng để chế tạo một thùng hình trụ  không đáy có thể tích V bằng cách cắt ra một hình chữ nhật như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của V bằng bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian Oxyz, tọa độ tâm mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-2x-6z+2=0$  là

Hệ số của $x^8$ trong khai triển biểu thức ${\left(x+2\right)}^5{\left(2x-1\right)}^6$ bằng

Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\sqrt{3}a$. M là trung điểm cạnh A'B', N là điểm trên tia đối của tia C'A' sao cho A’C’ = 2NC. Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh A' bằng

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2.sin2x.cosx thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=2$  là

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = cosx, x = 0, x = $\mathrm{\pi }$ Thể tích vật thể tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành Ox bằng

Một loài vi khuẩn A được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm với số lượng ban đầu là N(0) và  số lượng vi khuẩn A sau t phút là N(t). Số lượng vi khuẩn A theo thời gian t được biểu diễn bởi đồ thị bên hình vẽ. Biết rằng cứ sau 3 phút, số lượng vi khuẩn A tăng lên gấp k lần. Hỏi sau bao lâu, kể từ thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 20 triệu con?

Cho hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị là đường cong bên hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?