Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\sqrt{3}a$. M là trung điểm cạnh A'B', N là điểm trên tia đối của tia C'A' sao cho A’C’ = 2NC. Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh A' bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f\left(x\right)=6x^{2}f\left(x^3\right)+\frac{3}{\sqrt{3x+1}}$. Giá trị ${\int }_0^2\left(x+1\right)f\text{'}\left(\frac{x}{2}\right)dx$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có đỉnh A(0;4) nhìn hai tiêu điểm $F_1,F_2$ dưới một góc bằng ${120}^{\circ }$. Phương trình chính tắc của elip đã cho là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-20;20\right]$ để bất phương trình $2^{2x+1}-12m.2^{x-1}+5m^2-10<0$ có nghiệm thực?

Tổng các nghiệm của phương trình $\cos 2x+5\sin x-3=0$  trên khoảng $\left(0;10\mathrm{\pi }\right)$  bằng

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $f\left(ab+bc+ca+3\right)$+$f\left(2-2a^2-2b^2-2c^2\right)=1$ với hàm số $f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+4}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2-\frac{1}{a+b+c+3}$ bằng

Hệ số của $x^8$ trong khai triển biểu thức ${\left(x+2\right)}^5{\left(2x-1\right)}^6$ bằng

Biết $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{x+2}{2x-1}$ cách đều hai điểm $M\left(0;2\right),N\left(2,0\right)$. Giá trị biểu thức $p=x_1+x_2-2x_1{x}_2$  bằng

Trong không gian Oxyz, tọa độ tâm mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-2x-6z+2=0$  là

Từ một miếng tôn hình tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$ , người ta dùng để chế tạo một thùng hình trụ  không đáy có thể tích V bằng cách cắt ra một hình chữ nhật như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của V bằng bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\sqrt{3}a$. Góc giữa đường thẳng B'C với mặt phẳng đáy bằng

Cho hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị là đường cong bên hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2.sin2x.cosx thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=2$  là

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx-m+1$ có đồ thị (C) và điểm A(0;2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để có ít nhất 2 tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A. Tìm số phần tử của S.

Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = cosx, x = 0, x = $\mathrm{\pi }$ Thể tích vật thể tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành Ox bằng

Một loài vi khuẩn A được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm với số lượng ban đầu là N(0) và  số lượng vi khuẩn A sau t phút là N(t). Số lượng vi khuẩn A theo thời gian t được biểu diễn bởi đồ thị bên hình vẽ. Biết rằng cứ sau 3 phút, số lượng vi khuẩn A tăng lên gấp k lần. Hỏi sau bao lâu, kể từ thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 20 triệu con?