Cho khối cầu có bán kính R = 2. Thể tích của khối cầu đã cho là

Đáp án đúng: A

*Lời giải:

Thể tích khối cầu bán kính R=2 là: V = 4/3. π. 2³

*Phương pháp giải:

Khối cầu bán kính r có thể tích là V = $\frac{4}{3}.\pi .R^3$

 

* Một số lý thuyết liên quan và dạng bài toán về khối cầu:

Tính chất của mặt cầu

Nếu điểm $A$ ngoài mặt cầu $S(O;r)$ thì:

- Qua $A$ có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối $A$ với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng

Cho mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $O$, bán kính $R$ và đường thẳng $d$, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $d$.

+ Nếu $OH<R$ thì $\left(S\right)$ cắt $d$ tại $2$ điểm phân biệt.

+ Nếu $OH=R$ thì $\left(S\right)$ cắt $d$ tại một điểm duy nhất $H$. ($d$ là tiếp tuyến với mặt cầu, $H$ là tiếp điểm)

+ Nếu $OH>R$ thì $\left(S\right)$ và $d$ không có điểm chung.

Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu $\left(S\right)$ tâm $O$, bán kính $R$ và mặt phẳng $\left(P\right)$, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left(P\right)$.

+ Nếu $OH<R$ thì $\left(S\right)$ cắt $\left(P\right)$ theo đường tròn tâm $H$ và bán kình $r=\sqrt{R^2-O{H}^2}$.

+ Nếu $OH=R$ thì $\left(S\right)$ tiếp xúc $\left(P\right)$ tại tiếp điểm $H$.

+ Nếu $OH>R$ thì $\left(S\right)$ và $\left(P\right)$ không có điểm chung.

Đặc biệt: Nếu $OH=0\left(O\equiv H\right)$ thì đường tròn giao tuyến của $\left(P\right)$ và $\left(S\right)$ được gọi là đường tròn lớn, $\left(P\right)$ được gọi là mặt phẳng kính.

 

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

1. Công thức tính diện tích mặt cầu

- Cho mặt cầu (S) có bán kính r.

Khi đó diện tích mặt cầu $S=4\pi r^2$

- Chú ý: Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

2. Công thức tính thể tích khối cầu

Khối cầu bán kính r có thể tích là V = $\frac{4}{3}.\pi .R^3$

Các dạng bài về mặt cầu và cách giải

Dạng 1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng

Ta xác định tâm O và O' của hai đáy

Tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ lúc này chính là trung điểm của OO'

R = IA = $\sqrt{O{A}^2+O{I}^2}$

Chú ý: Hình lăng trụ nội tiếp trong một mặt cầu khi nó là hình lăng trụ đứng và có đáy đa giác nội tiếp.

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có:

- Tâm là trung điểm AC'

- Bán kính R = $\frac{AC\text{'}}{2}$ = $\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

Khi ABCD.A'B'C'D là hình lập phương: R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Dạng 2. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

- Tìm tâm O của mặt đáy

+ Trong tam giác đều: Giao điểm của 3 đường trung tuyến

+ Hình vuông và hình chữ nhật: Giao điểm 2 đường chéo

+ Tam giác vuông: Trung điểm của cạnh huyền

- Dựng một trục d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với đáy (d song song với chiều cao hình chóp)

- Ta sẽ xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên

- Giao điểm của mặt phẳng (P) và d là tâm của mặt cầu ngoại tiếp

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu (2024) chi tiết nhất 

Trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án (Vận dụng) 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Mặt cầu (có đáp án 2024) - Toán 12