Cho hình thoi ABCD cạnh 5 và $\widehat{ABC}={60}^o$. Tính: $\left|2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}\right|$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}=2\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)=2\overrightarrow{DB}$ (hiệu hai vectơ).

Gọi O là giao hai đường chéo của hình thoi, khi đó O là trung điểm của AC và BD. Hơn nữa hai đường chéo này vuông góc với nhau tại O.

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{ABC}={60}^o$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

$\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.5=2,5$

Xét tam giác AOB vuông tại O, theo định lí Pytahgore ta có:

$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2\Rightarrow B{O}^2=A{B}^2-A{O}^2=5^2-2,5^2=18,75$ 

$\Rightarrow BO=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow BD=2BO=2.\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ 

Vậy $\left|2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AD}\right|=\left|2\overrightarrow{DB}\right|=\left|2\right|\left|\overrightarrow{DB}\right|=2DB=2.5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$.