Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$  có cạnh bằng a, gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}$  và mặt phẳng $\left(BB\text{'}\mathrm{D}\text{'}\mathrm{D}\right)$ . Tính $\sin \alpha .$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=3$ . Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O) thỏa mãn $O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2=27$ . Diện tích của tam giác ABC bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm là A(1;3;-1), B(3;-1;5). Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MB}.$ 

Cho phương trình ${25}^x-20.5^{x-1}+3=0$ . Khi đặt $t=5^x$ , (t > 0), ta được phương trình nào sau đây?

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường tròn $x^2+y^2=2$  (phần tô đậm trong hình). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành.

Gọi $z_0$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^2+2z+10=0$ .Tính $i{z}_0.$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;3) và $\left(P\right):x+my+\left(2m+1\right)z-m-2=0$ , m là tham số thực. Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P). Khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất, tính a + b

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(3;3;-2) và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;3;1\right)$ . Phương trình của d là

Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Số phức $z = a + bi$ , $a,b\in$R  là nghiệm của phương trình $\frac{\left(\left|z\right|-1\right)\left(1+iz\right)}{z-\frac{1}{\overline{z}}}=i$ . Tổng $T=a^2+b^2$ bằng

 Biết $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\ln x}{x^2}dx=aln2+\frac{b}{c}$ (với a là số hữu tỉ, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$  là phân số tối giản). Tính giá trị của $S=2a+3b+c.$

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^3-3x^2-9x+2$  là

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm nguyên dương của bất phương trình ${\log }_2\left(1+x\right)<2$ . Tính giá trị của $P=x_1+x_2.$

Cho $a={\log }_{2}5$, $b={\log }_{2}9$. Biểu diễn của  theo a và b là

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $2\left|z-1\right|=\left|z+\overline{z}+2\right|$  trên mặt phẳng tọa độ là một

Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $z=\left|1-\sqrt{3}i\right|\left(1+2i\right)+\left|3-4i\right|\left(2+3i\right)$ . Giá trị của a - b là