Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có tất cả các cạnh đều bằng 2a, đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối hộp đã cho.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AC=2a,BC=a$. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C. Tính khoảng cách d từ trung điểm M của SC đến mặt phẳng  (SBD).

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt $g\left(x\right)=3f\left(f\left(x\right)\right)+4$. Số điểm cực trị của hàm số g(x) là

Kí hiệu $z_1,z_2,z_3,z_4$ là bốn nghiệm phức của phương trình $z^4+4z^2-5=0$. Giá trị của ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+{\left|z_3\right|}^2+{\left|z_4\right|}^2$ bằng

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/m² và 100 000 đồng/m². Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho phần vật thể $\Phi$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox tại x = 0; x = 3. Cắt phần vật thể $\Phi$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng $x\left(0\le x\le 3\right)$ ta được thiết diện là hình chữ nhật có kích thước lần lượt là x và $\sqrt{3-x}$. Thể tích phần vật thể $\Phi$ bằng

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình $f\left(x\right)>2^{\cos x}+3m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi.

Tập nghiệm S của bất phương trình ${\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x-6\le 0$ là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc $\widehat{BAD}=60°$, $SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính tổng T của phần thực và phần ảo của số phức $z={\left(\sqrt{2}+3i\right)}^2$

Cho hàm số $y=\frac{mx-2m-3}{x-m}$ (với m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

Trong khai triển $\left(a^2-\frac{1}{b}\right)$, số hạng thứ 5 là

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}$ bằng

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa đường thẳng AB, đi qua điểm C' của cạnh SC chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số $\frac{S{C}^{\text{'}}}{SC}$

Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx=-2$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[2x+f\left(x\right)-2g\left(x\right)\right]dx$

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y=\frac{2x+1}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$?