Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khoảng cách giữa AB và B’C là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa  BC và AB’ là $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa AC và BD’ là $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không có đáy (OA trùng với OB). Gọi S và S ' lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số ^{$\frac{S}{S\text{'}}$} để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất

Cho hàm sốy=f(x) có đạo hàm f'(x) trên tập số thực $\mathrm{ℝ}$ và đồ thị của hàm số y=f(x) như hình vẽ. Khi đó, đồ thị của hàm số $y=(f{\left(x\right))}^2$ có

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right): x^2+y^2+z^2-6x+4y-12=0$. Mặt phẳng nào sau đây cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r=3?

Cho $z_1,z_2$ là hai số phức thỏa mãn điều kiện |z-5-3i|=5 đồng thời $\left|z_1-z_2\right|=8$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=z_1+z_2$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình

Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2az+10a=0$. Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng $8\mathrm{\pi }$ là

Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y={\left|x\right|}^3-\left(2m+1\right)x^2+3m\left|x\right|-5$ có ba điểm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) có đạo  hàm liên tục trên đoạn [-2;1] thỏa mãn f(0)=1 và ${\left(f\left(x\right)\right)}^2.f\text{'}\left(x\right)=3x^2+4x+2$ Giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [-2;1] là

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\log }^2\left|\cos x\right|-m\log {\cos }^{2}x-m^2+4=0$ vô nghiệm

Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD  là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Phương trình $\log \left(54-x^3\right)=3\log x$ có nghiệm là

Xét các số thực dương x;y thỏa mãn ${\log }_3\frac{1-y}{x+3xy}=3xy+x+3y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{min}$ của biểu thức P=x+y..

Với a và b là hai số thực dương tùy ý, $\log \left(a^2{b}^3\right)$bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=x{\left(x+1\right)}^2$. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2^{2x}$ là