Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $SA= a\sqrt{3}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ , góc $\angle ACB={30}^{°}$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 

Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{{\mathrm{mx}}^2+6x-2}{\mathrm{x}+2}$. Xác định m để hàm số có $y\text{'}\le 0,\forall x\in \left(1;+\infty \right)$

Cho số phức z thỏa mãn $\mathrm{z}=\left(3\mathrm{i}+4\right)\left[\left(-3+2i\right)-\left(4-7i\right)\right]$. Tính tích phần thực và phần ảo của $\overline{z}.z$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Cực đại của hàm số $y=f\left(x\right)$ là

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ khi elip này quay xung quanh trục Ox là: . 

Cho số phức z thỏa mãn: $\left|\mathrm{z}\right|=m^2+2m+5$, với m là tham số thực thuộc $\mathrm{ℝ}$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w=\left(3-4\mathrm{i}\right)z-2i$ là một đường tròn. Tính bán kính r nhỏ nhất của đường tròn đó.

Một vật thể có dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy và độ dài của nó đều bằng 2r (cm). Người ta khoan một lỗ cũng có dạng hình trụ như hình, có bán kính đáy và độ sâu đều bằng r (cm). Thể tích phần vật thể còn lại (tính theo $c{m}^3$) là:

F(x) là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}$ thỏa .$F\left(1\right)=0$, $F\left(x\right)=\frac{x^4}{a}+\frac{x^2}{b}-\frac{3}{c}$Tính S = a + b + c ?

Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_1^2\frac{1}{\mathrm{x}{\left(\mathrm{x}+1\right)}^2}d\mathrm{t}=\ln \mathrm{a}+\mathrm{b}$. Khi đó S = a +2b bằng: 

Một lọ nước hoa thương hiệu Quang Baby được thiết kế vỏ dạng nón, phần chứa dung dịch nước hoa là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi để vẫn vỏ lọ nước hoa là hình nón trên. Tính tỉ lệ giữa x và chiều cao hình nón để cho lọ nước hoa đó chứa được nhiều dung dịch nước hoa nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm M, N , P là điểm biểu diễn của 3 số phức: ${\mathrm{z}}_1=8+3\mathrm{i}$,${\mathrm{z}}_2=1+4\mathrm{i}$,${\mathrm{z}}_3=5+x\mathrm{i}$.Với giá trị nào của x thì tam giác MNP vuông tại P?

An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm $M\left(1;3;9\right)$ và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại $A\left(a;0;0\right)$,$B\left(0;b;0\right)$,$C\left(0;0;c\right)$ với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị của biểu thức P = a + b + c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài các cạnh bằng $a,b,c$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(-1;2;-1\right)$. Hình chiếu vuông góc của A trên trục toạ độ $x\text{'}Ox$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^x$ là