Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA=a vuông góc với đáy. Côsin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD) bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $ln{x}^2<0$ là

Cho các số thực dương $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số thực dương $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng $a_1=b_1$ và $a_5=\frac{176}{17}{b}_5$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{a_2+a_3+a_4}{b_2+b_3+b_4}$ bằng

Cho khối tứ diện ABCD có AB=x,AC=AD=CB=DB=$2\sqrt{3}$, khoảng cách giữa AB,CD bằng 1. Tìm x, để khối tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.

Thể tích của khối tứ diện OABC có OA=OB=OC=a và OA,OB,OC đôi một tạo với nhau một góc $60°$ bằng

Tích các nghiệm của phương trình ${\log }^{2}x+\sqrt{2-\log x}=2$ là

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,B′C′ (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và AC bằng

Cho tập A={1,2,...,100}. Gọi S là tập hợp tất cả các tập con của A, mỗi tập con gồm 2 phần tử có tổng bằng 100. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S. Xác suất để chọn được phần tử có tích hai số là một số chính phương bằng

Một chỉnh hợp chập 2 của tập A={1,2,3,4,5} là:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^2\left(x+2\right)}$ là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(3;4;5) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$:x+2y+3z-14=0. Gọi $\Delta$ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên $\Delta$. Biết rằng khi AM = BN thì trung điểm của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng cố định đó.

Có bao nhiêu số nguyên m < 10 để hàm số $y=|x^3-mx+1|$ có 5 điểm cực trị.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Mặt cầu tâm I(2;2;2) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng

Xét tập (A) gồm các số phức z thoả mãn $\frac{z-2i}{z-2}$ là số thuần ảo và các giá trị thực m,n sao cho chỉ có duy nhất một số phức $z\in \left(A\right)$ thoả mãn |z-m-ni|=$\sqrt{2}$. Đặt M=max⁡( m+n) và N=min⁡( m+n). Tính P=M+N.

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $y=ln(x^3+mx+2)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Cho ${\int }_1^e\frac{\ln x}{(lnx+x+1{)}^2}dx$$=\frac{ae-2}{be+4}$, với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức b-a bằng