Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=a,BC=a\sqrt{3},SA=a$ và SA vuông góc với đáy  ABCD. Tính $\sin \alpha ,$ với $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng BD và mặt phẳng $\left(SBC\right).$ 

 

 

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{-x^2-4}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{3}{2};4\right]$là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm  $A\left(2;1;3\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+my+\left(2m+1\right)z-\left(2+m\right)=0,$ với m là tham số. Gọi điểm $H\left(a;b;c\right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên $\left(P\right).$ Tính $a+b$ khi khoảng cách từ điểm A đến $\left(P\right)$ lớn nhất.

Cho hai số phức z, w thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}\left|z-3-2i\right|\le 1\\ \left|w+1+2i\right|\le \left|w-2-i\right|\end{array}\right..$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất $P_{\min }$ của biểu thức $P=\left|z-w\right|$.

Cho $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=3.$ Tính tích phân $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left[2f\left(x\right)-1\right]dx.$

Cho $\underset{\frac{1}{3}}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{3x+\sqrt{9x^2-1}}dx=a+b\sqrt{2},$ với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó giá trị của a là

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên $ℝ$, có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình $2{\left[f\left(x\right)\right]}^2-3f\left(x\right)+1=0$ là

Cho x, y là các số thực thỏa mãn $\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_2\left(xy\right)+1}=\frac{{\log }_{2}y}{{\log }_2\left(xy\right)-1}={\log }_{2}x+{\log }_{2}y.$

Khi đó giá trị của $x+y$ bằng

Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(x+3\right)}^{2}dx$ bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ là

Cho phương trình ${\log }_{0,5}\left(m+6x\right)+{\log }_2\left(3-2x-x^2\right)=0$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm thực?

Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|x^2-2x+m\right|$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$ bằng 5?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[0;+\infty \right)$ và $\underset{0}{\overset{x^2}{\int }}f\left(t\right)dt=x\sin x\left(\pi x\right).$

Tính $f\left(4\right)$.

Có bao nhiêu giá trị nguyên hàm của tham số m nhỏ hơn 10 để phương trình sau $\sqrt{m+\sqrt{m+e^x}}=e^x$ có nghiệm thực?

Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+C_n^3=13n,$ hệ số của số hạng chứa $x^5$ trong khai triển của biểu thức ${\left(x^2+\frac{1}{x^3}\right)}^n$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\frac{x+m^2}{x+4}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?