Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + 1}}{{x + 1}}\) ( \(m\)là tham số thực). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\)sao cho \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3\). Số phần tử của \(S\) là

Chọn đáp án B

* Nếu \(m = 1\) thì \(f\left( x \right) = 1;\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) đây là hàm hằng nên \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1\) \( \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 2 \ne 3\) ( loại).

* Nếu \(m = 0\) thì \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}};\forall x \in \left[ {1;2} \right]\), có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0;\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)nên \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( 1 \right) = \frac{1}{2};\)\(\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = f\left( 2 \right) = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| \ne 3\) ( loại).

*Nếu \(m \ne 1;m \ne 0\) ta thấy hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + 1}}{{x + 1}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) , \(f\left( 1 \right) = \frac{{m + 1}}{2};f\left( 2 \right) = \frac{{2m + 1}}{3}\) và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(x = - \frac{1}{m}\)

TH1: Nếu \[1 \le - \frac{1}{m} \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le m \le - \frac{1}{2}\] thì \[\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = max\left\{ {\left| {\frac{{m + 1}}{2}} \right|;\left| {\frac{{2m + 1}}{3}} \right|} \right\};\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\].

Do đó \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {\frac{{m + 1}}{2}} \right| = 3\\\left| {\frac{{2m + 1}}{3}} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = \pm 6\\2m + 1 = \pm 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - 7\\m = 4\\m = - 5\end{array} \right.\)(loại).

TH2: Nếu \[ - \frac{1}{m} < 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m >0\end{array} \right.\] thì </>

+) \[m >0\]: \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = max\left\{ {\frac{{m + 1}}{2};\frac{{2m + 1}}{3}} \right\};\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = min\left\{ {\frac{{m + 1}}{2};\frac{{2m + 1}}{3}} \right\}\)

Do đó \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{3} + \frac{{m + 1}}{2} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{7}\) ( thỏa mãn).

+) \[m < - 1\]: </>

</>\(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = max\left\{ { - \frac{{m + 1}}{2}; - \frac{{2m + 1}}{3}} \right\};\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = min\left\{ { - \frac{{m + 1}}{2}; - \frac{{2m + 1}}{3}} \right\}\)

Do đó \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow - \frac{{2m + 1}}{3} - \frac{{m + 1}}{2} = 3 \Leftrightarrow m = - \frac{{23}}{7}\) (thỏa mãn).

TH3: Nếu \( - \frac{1}{m} >2 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < m < 0\) thì \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = max\left\{ {\frac{{m + 1}}{2};\frac{{2m + 1}}{3}} \right\};\mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = min\left\{ {\frac{{m + 1}}{2};\frac{{2m + 1}}{3}} \right\}\)

Do đó \(\mathop {max}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 3 \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{3} + \frac{{m + 1}}{2} = 3 \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{7}\) ( không thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị của \(m\)thỏa mãn bài toán.