Cho các hàm số $y=x^3$ và $y=x^{\frac{1}{3}}$ cùng xét trên có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi các điểm A và B lần lượt nằm trên các đồ thị đó sao cho AOB là tam giác đều. Biết rằng tồn tại hai tam giác như vậy với diện tích lần lượt là S₁ và S₂ trong đó S₁ < S₂. Tỷ số $\frac{S_2}{S_1}$ bằng:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị (C) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-2\right)f\left(\left|x\right|\right)+m-3=0$ có 6 nghiệm phân biệt?

Trong A, B lần lượt là diểm biểu diễn các số phức z₁, z₂. Trọng tâm G của tam giác OAB là điểm biểu diễn số phức như trong hình vẽ. Giá trị ${\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2+{\left|z_3\right|}^2$ bằng:

Cho $a={\log }_{7}12$ và $b={\log }_{12}14$. Biểu diễn $c={\log }_{84}54$ theo a và b, ta được kết quả:

Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm là:

Cho hai số thực x, y thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0;y\ge 0\\ x+y=1\end{array}\right.$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy$. Khi đó có giá trị bằng:

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$. Giả sử A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng AB đi qua gốc tọa độ. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=abc+ab+c$ là:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến khoảng (1;+∞) là:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng $a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp A’.ABCD bằng:

Biết đồ thị hàm số $y=\frac{\left(m-n\right)x^2+mx+1}{x^2+mx+n-6}$ (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Giá trị của tổng bằng:

Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng y = m+1 cắt đồ thị hàm số $y=x^4-3x^2-2$ tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây đúng?

Cho ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{5}\right)=a$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;2;2) và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=4$. Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu (S), trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;−3;2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại A, B, C thỏa mãn OA = OB = OC ≠ 0?

Cho mặt cầu S(O;r) và một điểm A với OA > R. Từ A dựng các tiếp tuyến với mặt cầu S(O;r), gọi M là tiếp điểm bất kì. Tập hợp các điểm M là:

Cho hình chóp tam giác có đáy là một tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 10 m sao cho các cạnh bên của chóp hợp với đáy các góc 45^o,45^o,60^o. Khi đó thể tích của khối chóp nằm trong khoảng nào sau đây?