Câu hỏi:
18/07/2024 387
Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là
A. Điểm B;
A. Điểm B;
B. Trung điểm của cạnh NP;
C. Trung điểm của cạnh MN;
D. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D
Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).
Suy ra AC – CP = BC – BN.
Do đó AP = CN.
Xét ∆MAP và ∆PCN, có:
AM = CP (giả thiết).
(do ∆ABC đều).
AP = CN (chứng minh trên).
Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)
Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng) (1).
Chứng minh tương tự, ta được MN = PN (2).
Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.
Do đó ∆MNP đều.
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC
Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)
Xét DBOA và DBOC có:
BA = BC (do ∆ABC đều),
BO là cạnh chung,
OA = OC (chứng minh trên)
Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.
Do đó .
Chứng minh tương tự, ta được:
và .
Xét ∆MAO và ∆NBO, có:
OA = OB (chứng minh trên).
(= 30°).
AM = BN (giả thiết).
Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)
Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng) (3).
Chứng minh tương tự, ta được NO = PO (4).
Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.
Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.
Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.
Vậy ta chọn đáp án D.
Đáp án đúng là: D
Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).
Suy ra AC – CP = BC – BN.
Do đó AP = CN.
Xét ∆MAP và ∆PCN, có:
AM = CP (giả thiết).
(do ∆ABC đều).
AP = CN (chứng minh trên).
Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)
Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng) (1).
Chứng minh tương tự, ta được MN = PN (2).
Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.
Do đó ∆MNP đều.
Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC
Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)
Xét DBOA và DBOC có:
BA = BC (do ∆ABC đều),
BO là cạnh chung,
OA = OC (chứng minh trên)
Do đó DBOA = DBOC (c.c.c)
Suy ra (hai góc tương ứng)
Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.
Do đó .
Chứng minh tương tự, ta được:
và .
Xét ∆MAO và ∆NBO, có:
OA = OB (chứng minh trên).
(= 30°).
AM = BN (giả thiết).
Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)
Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng) (3).
Chứng minh tương tự, ta được NO = PO (4).
Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.
Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.
Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.
Vậy ta chọn đáp án D.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho ∆ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM = AB. Vẽ đường trung trực của AC, cắt tia phân giác của tại điểm O. Đường trung trực của đoạn thẳng BM đi qua điểm:
Cho ∆ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM = AB. Vẽ đường trung trực của AC, cắt tia phân giác của tại điểm O. Đường trung trực của đoạn thẳng BM đi qua điểm:
Câu 2:
Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB, lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB, lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết . Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Câu 3:
Cho , A là một điểm di động ở trong . Vẽ các điểm M và N sao cho Ox là đường trung trực của AM và Oy là đường trung trực của AN. Để O là trung điểm của MN của giá trị của α bằng:
Cho , A là một điểm di động ở trong . Vẽ các điểm M và N sao cho Ox là đường trung trực của AM và Oy là đường trung trực của AN. Để O là trung điểm của MN của giá trị của α bằng:
Câu 4:
Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Câu 5:
Câu 6:
Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.
Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.
Câu 7:
Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AB. Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC:
Câu 8:
Cho ∆ABC có là góc tù. Các đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại D và E. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Cho ∆ABC có là góc tù. Các đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại D và E. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Câu 9:
Cho ∆ABC cân tại A, có . Đường trung trực của cạnh AB cắt BC tại D. Trên tia đối của tia AD, lấy điểm M sao cho AM = CD. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Cho ∆ABC cân tại A, có . Đường trung trực của cạnh AB cắt BC tại D. Trên tia đối của tia AD, lấy điểm M sao cho AM = CD. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Câu 10:
Cho ∆ABC có tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC lần lượt tại D và E. Biết . Số đo bằng:
Cho ∆ABC có tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC lần lượt tại D và E. Biết . Số đo bằng:
Câu 11:
Cho ∆ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE, CD cắt BE tại O. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Cho ∆ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE, CD cắt BE tại O. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Câu 12:
Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?
Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?
