Biết rằng $F\left(x\right)=\int \tan xdx$  và $F\left(0\right)=3F\left(\pi \right)=6.$  Khi đó giá trị của biểu thức $F\left(\frac{\pi }{3}\right)+F\left(\frac{4\pi }{3}\right)$  tương ứng bằng

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, $AB=a\sqrt{2},BC=a,SC=2a$  và $\widehat{SCA}=30°.$  Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

Cho hàm số $f\left(x\right)$  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[0;2\right]$ . Biết $f\left(0\right)=1$  và $f\left(x\right).f\left(2-x\right)=e^{2x^2-4x}$  với mọi $x\in \left[0;2\right].$  Tính tích phân  $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{\left(x^3-3x^2\right).f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx.$

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{2\cos x+3}{2\cos x-m}$  nghịch biến trên khoảng  $\left(0;\frac{\pi }{3}\right).$

Gọi $z_1,z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-4z+5=0.$  Giá trị của biểu thức ${\left(z_1-1\right)}^{2019}+{\left(z_2-1\right)}^{2019}$  bằng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  có thể tích là V và độ dài cạnh bên là $A{A}^{\text{'}}=6.$  Cho điểm $A_1$  thuộc cạnh $A{A}^{\text{'}}$  sao cho $A{A}_1=2.$  Các điểm $B_1,C_1$  lần lượt thuộc cạnh $B{B}^{\text{'}},C{C}^{\text{'}}$  sao cho $B{B}_1=x,C{C}_1=y.$   Biết rằng thể tích khối đa diện $ABC.A_1{B}_1{C}_1$  bằng $\frac{1}{2}V.$  Giá trị của $x+y$  bằng

Cho lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  có ABCD là hình chữ nhật $A^{\text{'}}A=A^{\text{'}}B=A^{\text{'}}D.$  Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  biết rằng  $AB=a,AD=a\sqrt{3},A^{\text{'}}A=2a.$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên $ℝ\backslash \left\{2\right\},$  liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $f\left(x\right)=m$  có 3 nghiệm thực phân biệt.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1,V_2$  với $V_1<V_2.$  Tính tỉ số  $\frac{V_1}{V_2}.$

Cho đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^4-2x^2-1$  có 3 điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là

Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm  $A\left(-3;0;0\right),B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;-2\right).$

Cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn ba số phức $z_1,z_2,z_3$  với $z_3\ne z_1,z_3\ne z_2$. Biết $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|$  và $z_1+z_2=0.$  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\perp \left(ABCD\right)$ . Góc giữa SC và $\left(ABCD\right)$  là $45°.$  Thể tích khối chóp $S.ABCD$  là

Cho hàm số $f\left(x\right)$  liên tục và nhận giá trị dương trên $\left[0;1\right].$  Biết $f\left(x\right).f\left(1-x\right)=1$  với $\forall x\in \left[0;1\right].$  Tính giá trị  $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$

Tìm tập xác định của hàm số  $y={\log }_2\left(2x^2-x-1\right)$

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng  $\left(-\infty ;+\infty \right)$