Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1,V_2$  với $V_1<V_2.$  Tính tỉ số  $\frac{V_1}{V_2}.$

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, $AB=a\sqrt{2},BC=a,SC=2a$  và $\widehat{SCA}=30°.$  Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

Cho hàm số $f\left(x\right)$  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $\left[0;2\right]$ . Biết $f\left(0\right)=1$  và $f\left(x\right).f\left(2-x\right)=e^{2x^2-4x}$  với mọi $x\in \left[0;2\right].$  Tính tích phân  $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{\left(x^3-3x^2\right).f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx.$

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{2\cos x+3}{2\cos x-m}$  nghịch biến trên khoảng  $\left(0;\frac{\pi }{3}\right).$

Gọi $z_1,z_2$  là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-4z+5=0.$  Giá trị của biểu thức ${\left(z_1-1\right)}^{2019}+{\left(z_2-1\right)}^{2019}$  bằng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$  có thể tích là V và độ dài cạnh bên là $A{A}^{\text{'}}=6.$  Cho điểm $A_1$  thuộc cạnh $A{A}^{\text{'}}$  sao cho $A{A}_1=2.$  Các điểm $B_1,C_1$  lần lượt thuộc cạnh $B{B}^{\text{'}},C{C}^{\text{'}}$  sao cho $B{B}_1=x,C{C}_1=y.$   Biết rằng thể tích khối đa diện $ABC.A_1{B}_1{C}_1$  bằng $\frac{1}{2}V.$  Giá trị của $x+y$  bằng

Cho lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  có ABCD là hình chữ nhật $A^{\text{'}}A=A^{\text{'}}B=A^{\text{'}}D.$  Tính thể tích khối lăng trụ $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  biết rằng  $AB=a,AD=a\sqrt{3},A^{\text{'}}A=2a.$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên $ℝ\backslash \left\{2\right\},$  liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $f\left(x\right)=m$  có 3 nghiệm thực phân biệt.

Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm  $A\left(-3;0;0\right),B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;-2\right).$

Cho hàm số $f\left(x\right)$  liên tục và nhận giá trị dương trên $\left[0;1\right].$  Biết $f\left(x\right).f\left(1-x\right)=1$  với $\forall x\in \left[0;1\right].$  Tính giá trị  $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-x-20}$  là

Cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn ba số phức $z_1,z_2,z_3$  với $z_3\ne z_1,z_3\ne z_2$. Biết $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|$  và $z_1+z_2=0.$  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tìm tập xác định của hàm số  $y={\log }_2\left(2x^2-x-1\right)$

Một khối trụ có bán kính R, chiều cao h và thể tích $V_1.$  Tăng bán kính đáy lên gấp đôi, chiều cao khối trụ không đổi thì thể tích khối trụ khi đó

Cho đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^4-2x^2-1$  có 3 điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là