Xét tam giác ABC vuông tại A có góc B = alpha. Chứng minh rằng

Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Video Giải Câu hỏi 1 trang 71 Toán lớp 9 Tập 1

Câu hỏi 1 trang 71 Toán lớp 9 Tập 1: Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{\mathrm{B}}=\mathrm{\alpha }$. Chứng minh rằng

a) $\alpha ={45}^o\iff \frac{AC}{AB}=1$;

b) $\alpha ={60}^o\iff \frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$.

Lời giải:

a)

 

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$$\begin{gathered} \widehat{BAC}={90}^o \\ \widehat{ABC}={45}^o \\ \Rightarrow \widehat{BCA}={45}^o \end{gathered}$$

Do đó tam giác ABC vuông cân tại A (do có hai góc ở đáy bằng nhau)

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ (hai cạnh bên của tam giác vuông cân ABC)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=1$ (đcpcm)

b) 

Xét tam giác vuông ABC

Gọi điểm D là trung điểm của BC, kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

$\Rightarrow \mathrm{AD}=\mathrm{BD}=\frac{\mathrm{BC}}{2}$ (1)

Xét tam giác ABD có:

AD = BD

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\mathrm{\alpha }={60}^{\mathrm{o}}$

Do đó tam giác ABD là tam giác đều
$\Rightarrow AB=AD$ (2)
Từ (1) và (2) ta có:

 $AB=AD=BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2AB$

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\mathrm{BC}}^2 \\ \iff {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2={\left(2\mathrm{AB}\right)}^2 \\ \iff {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=4{\mathrm{AB}}^2 \\ \iff {\mathrm{AC}}^2=3{\mathrm{AB}}^2 \\ \iff \mathrm{AC}=\sqrt{3}\mathrm{AB} \end{gathered}$$

$\iff \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\sqrt{3}$ (đpcm)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 2 trang 73 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{C}=\beta$ ...

Câu hỏi 3 trang 74 Toán 9 Tập 1: Hãy nêu cách dựng góc nhọn $\mathrm{\beta }$ theo hình 18 và ...

Câu hỏi 4 trang 74 Toán 9 Tập 1: Cho hình 19. Hãy cho biết tổng số đo góc...

Bài 10 trang 76 Toán 9 Tập 1: Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn...

Bài 11 trang 76 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9 m....

Bài 12 trang 76 Toán 9 Tập 1: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của...