Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Bài 4.4 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}x+\sqrt{k}+\sqrt{3}$ 

a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

c) Chứng minh rằng, với mọi giá trị k ≥ 0, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm cố định đó.

Lời giải:

a) Để biểu thức ở vế phải xác định thì k ≥ 0.

Để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  thì (d) phải đi qua điểm $\left(0;2\sqrt{3}\right)$.

Thay x = 0; y = $2\sqrt{3}$ vào hàm số ta được: 

$$\begin{gathered} 2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}.0+\sqrt{k}+\sqrt{3} \\ \iff 2\sqrt{3}=\sqrt{k}+\sqrt{3} \\ \iff \sqrt{k}=\sqrt{3}\iff k=3 \end{gathered}$$

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy k = 3 thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2$\sqrt{3}$

b) Để đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 thì (d) đi qua điểm (1; 0). Thay x = 1; y = 0 vào hàm số ta được:$$\begin{gathered} 0=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}.1+\sqrt{k}+\sqrt{3} \\ \iff 0=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}+\sqrt{k}+\sqrt{3} \\ \iff \frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}=-\sqrt{k}-\sqrt{3} \\ \iff \sqrt{k}+1=\left(-\sqrt{k}-\sqrt{3}\right).\left(\sqrt{3}-1\right) \\ \iff \sqrt{k}+1=-\sqrt{3}.\sqrt{k}+\sqrt{k}-3+\sqrt{3} \\ \iff \sqrt{k}+\sqrt{3}.\sqrt{k}-\sqrt{k}=-3-1+\sqrt{3} \\ \iff \sqrt{3}.\sqrt{k}=-4+\sqrt{3} \\ \iff \sqrt{k}=\frac{-4+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} <0 ( vô lí) \end{gathered}$$

Vậy không tồn tại k để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.

c) Giả sử (d) luôn đi qua điểm I$\left(x_0;y_0\right)$.

Thay x = x₀ và y = y₀ vào hàm số ta được:

$$\begin{gathered} y_0=\frac{\sqrt{k}+1}{\sqrt{3}-1}{x}_0+\sqrt{k}+\sqrt{3} \\ \iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=\left(\sqrt{k}+1\right)x_0+\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{k}+\sqrt{3}\right) \\ \iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{k}{x}_0+x_0+\sqrt{3}.\sqrt{k}-\sqrt{k}+3-\sqrt{3} \\ \iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{k}\left(x_0+\sqrt{3}-1\right)+x_0+3-\sqrt{3} \\ \iff \sqrt{k}\left(x_0+\sqrt{3}-1\right)+x_0+3-\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right) \end{gathered}$$

Để (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi k $\ge$1 ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_0+\sqrt{3}-1=0\\ x_0+3-\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=0\end{array}\right.$

Với $x_0+\sqrt{3}-1=0$

$\iff x_0=1-\sqrt{3}$

Thay $x_0=1-\sqrt{3}$ vào $x_0+3-\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right)$= 0 ta có:

$$\begin{gathered} \left(1-\sqrt{3}\right)+3-\sqrt{3}-y_0.\left(\sqrt{3}-1\right)=0 \\ \iff 4-2\sqrt{3}-y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=0 \\ \iff y_0\left(\sqrt{3}-1\right)=4-2\sqrt{3} \\ \iff y_0=\frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\left(4-2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)} \\ \iff y_0=\frac{2\left(2-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1} \\ =\left(2-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right) \\ \iff y_0=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2-3=\sqrt{3}-1 \end{gathered}$$

Vậy với k thì (d) luôn đi qua điểm I$\left(1-\sqrt{3};\sqrt{3}-1\right)$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 18 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1: Cho hàm số y = ax + 3...

Bài 19 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1: Biết rằng với x = 4 thì hàm số y = 2x + b có giá trị là 5...

Bài 20 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm hệ số a của hàm số y = ax + 1 ...

Bài 21 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Xác định hàm số y = ax + b...

Bài 22 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Xác định hàm số trong mỗi trường hợp sau...

Bài 23 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4)...

Bài 24 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k ...

Bài 4.1 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Đường thẳng y = kx + $\frac{1}{2}$ song song...

Bài 4.2 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Đường thẳng y = $\frac{2m+3}{5}x+\frac{4}{7}$ ...

Bài 4.3 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1: Hai đường thẳng y = (2m + 1)x -$\frac{2}{3}$  và y = (5m – 3)x + $\frac{3}{5}$ cắt nhau...