Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

Giải Toán 9 Bài 1: Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Video Giải Bài 3 trang 100 Toán lớp 9 tập 1

Bài 3 trang 100 Toán lớp 9 tập 1: Chứng minh các định lí sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

a)

Giả sử có tam giác ABC vuông tại A.

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC.

Khi đó ta có: $OB=OC=\frac{1}{2}BC$ (1)

Xét tam giác ABC vuông tại A

AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

$\Rightarrow OA=\frac{1}{2}BC$ (2) (do tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Từ (1) và (2) ta có: $OA=OB=OC=\frac{1}{2}BC$

Do đó ba điểm A, B, C cách đều điểm O nên A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính $R=\frac{1}{2}BC$. Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền.

b)

Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC

A, B, C cùng nằm trên đường (O)

$\Rightarrow$OA = OC = OC = R

BC là đường kính của đường tròn (O)

$\Rightarrow OA=OB=OC=R=\frac{1}{2}BC$ (1)

O là tâm của đường tròn và BC là đường kính của đường tròn

$\Rightarrow$ O là trung điểm của BC

Do đó, AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông tại A. (do tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Vậy tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A. Hay nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 98 Toán 9 Tập 1: Trên hình 53, điểm H nằm bên ngoài đường tròn (O)...

Câu hỏi 2 trang 98 Toán 9 Tập 1: Cho hai điểm A và B...

Câu hỏi 3 trang 98 Toán 9 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy vẽ đường tròn...

Câu hỏi 4 trang 99 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), A là một điểm bất kì thuộc đường tròn...

Câu hỏi 5 trang 99 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), AB là một đường kính bất kì...

Bài 1 trang 99 Toán 9 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm...

Bài 2 trang 100 Toán 9 Tập 1: Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải...

Bài 4 trang 100 Toán 9 Tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí...

Bài 5 trang 100 Toán 9 Tập 1: Đố. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm...