Đáp án đúng là D

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 = - 1 + \left( { - 1} \right) = - 2 \ne 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không vuông góc với nhau. Do đó A sai.

Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow k = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \ne 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow k \) không vuông góc. Do đó B sai.

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \ne 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) không vuông góc. Do đó C sai.

Ta có: \(\overrightarrow z .\overrightarrow t = a.\left( { - b} \right) + b.a = - ab + ab = 0.\) Suy ra hai vecto \(\overrightarrow z ,\overrightarrow t \) vuông góc với nhau. Do đó D đúng.

Đáp án đúng là D

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 1,\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} = 1.\)

\( \Rightarrow cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 45^\circ .\)

Vậy góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)là 45°.

Đáp án đúng là B

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = a, BD = AC = a\(\sqrt 2 \).

Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {a;\,\,0} \right)\), \(\overrightarrow {BD} \left( { - a;\,\,a} \right)\), \(\overrightarrow {AC} \left( {a;\,\,a} \right)\), \(\overrightarrow {BC} \left( {0;\,\,a} \right)\), \(\overrightarrow {BA} \left( { - a;\,\,0} \right)\).

Khi đó:

+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { - a} \right) + 0.a = - {a^2}\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^0}.\) Do đó A sai.

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} \) = a.0 + a.a = a²

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \frac{{{a^2}}}{{a.a\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^0}.\) Do đó B đúng

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = a.\left( { - a} \right) + a.a = 0\). Do đó C sai.

+) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} \) = -a.(-a) + 0.a = a². Do đó D sai.

Đáp án đúng là C

Hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc khi \(\overrightarrow a \).\(\overrightarrow b \)= 0.

Đáp án đúng là A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {2x;3{x^2} - 3} \right)\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = 1.2x + 1.(3x² – 3) = 3x² + 2x – 3

Mà \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = 2 nên 3x² + 2x – 3 = 2

⇔ 3x² + 2x – 5 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Tổng hai nghiệm là 1 + \(\left( { - \frac{5}{3}} \right)\) = \(\frac{3}{3} + \left( { - \frac{5}{3}} \right) = - \frac{2}{3}.\)

Vậy tổng hai nghiệm là \( - \frac{2}{3}.\)

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \ne \overrightarrow 0 \) được tính bởi công thức sau:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

Vì \(\left| {\overrightarrow u } \right| > 0,\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\) nên dấu của \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) phụ thuộc vào dấu của \(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\).

Nếu tích vô hướng của hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là một số dương thì \(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) > 0.\) Do đó góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là góc nhọn hoặc bằng 0⁰.

Đáp án đúng là B

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\left[ {\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)} \right]^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

Để \({\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}\) thì \(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 1\\c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^0}\\\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^0}\end{array} \right.\)

Vậy khi góc giữa hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là 0⁰ hoặc 180⁰ thì \({\left( {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2}.{\overrightarrow v ^2}.\)

Đáp án đúng là D

Đáp án đúng là D

Tích vô hướng của hai vecto \(k = \overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.\sqrt 7 + \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right) = \sqrt 7 + 6.\)

Do đó k là số vô tỉ.

Đáp án đúng là B

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\)

\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ,\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \)

 \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^0}.\)

Đáp án đúng là C

Vì I là trung điểm của AB nên ta có: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {IB} = - \overrightarrow {IA} \).

Xét \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right).\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)\)

\( = {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IA} \)

\( = {\overrightarrow {MI} ^2} + \overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IA} } \right) + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IA} \)

\( = {\overrightarrow {MI} ^2} + \left( { - \overrightarrow {IA} } \right).\overrightarrow {IA} \)

\( = {\overrightarrow {MI} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2}\)

\( = M{I^2} - I{A^2}\).

Đáp án đúng là C

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {9; - 3} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{9^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {10} .\)

\(\overrightarrow {AC} \left( {9;6} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{9^2} + {6^2}} = 3\sqrt {13} .\)

\(\overrightarrow {BC} \left( {0;9} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9.\)

Ta lại có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow 9.9 + \left( { - 3} \right).6 = 3\sqrt {10} .3\sqrt {13} .cos\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow 63 = 9\sqrt {130} .cos\widehat {BAC}\)

\( \Leftrightarrow cos\widehat {BAC} = \frac{7}{{\sqrt {130} }} \Leftrightarrow \widehat {BAC} \approx 52,13^\circ .\)

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ta được:

\(\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R \Leftrightarrow \frac{9}{{\sin 52,13^\circ }} = 2R \Leftrightarrow R \approx 5,7\).

Đáp án đúng là A

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\)

Để \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = - \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\) thì \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^0}\)

Suy ra \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) là hai vectơ ngược hướng.

Đáp án đúng là D

Gọi M có tọa độ M(0; m).

Vì M thuộc tia Oy nên m ≥ 0.

Ta có: \(\overrightarrow {AM} \left( { - 1;m + 3} \right),\overrightarrow {BM} \left( { - 5;m - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = \left( { - 1} \right).\left( { - 5} \right) + \left( {m + 3} \right).\left( {m - 2} \right) = {m^2} + m - 1.\)

Để \(\widehat {AMB} = {90^0}\) thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Ta thấy \(m = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (thỏa mãn) và \(m = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) (không thỏa mãn)

Vậy \(M\left( {0;\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là A

\(M{A^2} + {\rm{ }}M{B^2} + {\rm{ }}M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)

\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\)

\( = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\)

Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (tính chất trọng tâm tam giác)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 = 0\)

\( \Rightarrow M{A^2} + {\rm{ }}M{B^2} + {\rm{ }}M{C^2} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}.\)

Đáp án đúng là C

Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AH} \left( {x + 3;y - 1} \right);\overrightarrow {BC} \left( {0; - 6} \right);\overrightarrow {BH} \left( {x - 2;y - 4} \right);\overrightarrow {AC} \left( {5; - 3} \right)\)

Vì \(AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right).0 + \left( {y - 1} \right).\left( { - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 1.\)

Vì \(BH \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right).5 + \left( {y - 4} \right).\left( { - 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5x - 10 - 3y + 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow 5x - 3y = - 2\)

Mà y = 1 \( \Rightarrow 5x - 3.1 = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}.\)

Suy ra S = 5.\(\frac{1}{5}\) + 1 = 2.