Đáp án đúng là D

Ta có \(\overrightarrow u = - 5\overrightarrow i + 6\overrightarrow j .\) Khi đó toạ độ của \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u \)(-5; 6).

Đáp án đúng là C

Ta có \(\overrightarrow {BC} \) = (3 – 1; -1 – 2) = (2; -3).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)

Đáp án đúng là A

Ta có hai vecto \(\overrightarrow {OA} \left( {2;1} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;3} \right)\) không cùng phương (vì \(\frac{2}{3} \ne \frac{1}{3}\)). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Suy ra các điểm O, A, B không thẳng hàng

Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {MB} \)

Ta có: \(\overrightarrow {OA} \left( {2;1} \right),\overrightarrow {MB} \left( {3 - x;3 - y} \right)\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}2 = 3 - x\\1 = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;2} \right).\)

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Đáp án đúng là B

Ta có M(1;3) \( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left( {1;3} \right) \Rightarrow OM = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} .\)

Ta lại có N(4;2) \( \Rightarrow \overrightarrow {ON} \left( {4;2} \right) \Rightarrow ON = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( { - 3;1} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \)

Xét tam giác OMN, có: \(OM = MN = \sqrt {10} \) nên tam giác OMN cân tại M.

Ta có: \(O{N^2} = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = 20,\)\(O{M^2} + M{N^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} = 20\)

\( \Rightarrow O{N^2} = O{M^2} + M{N^2}\)

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.

Do đó tam giác OMN vuông cân tại M.

Đáp án đúng là C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + x{ & _C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + y{ & _C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccccc}x{ & _C} = 3.{x_G} - \left( {{x_A} + {x_B}} \right) = 3.( - 3) - (1 + 2) = - 12\\y{ & _C} = 3{y_G} - ({y_A} + {y_B}) = 3.2 - \left( {3 + 4} \right) = - 1\end{array} \right.\)

⇒ G(-12; -1).

Đáp án đúng là D

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {0 - ( - 3x); - 2 + y - ( - 1)} \right) = \left( {3x; - 1 + y} \right)\)

Để \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 4\\ - 1 + y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy x = \(\frac{4}{3}\), y = 0.

Đáp án đúng là D

Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \left( {\frac{2}{3} - \left( {k - \frac{1}{3}} \right);k - 2 - 5} \right) = \left( {1 - k;k - 7} \right)\),

\(\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{2}{3} - \left( { - 2} \right);k - 2 - 12} \right) = \left( {\frac{8}{3};k - 14} \right)\)

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \frac{{1 - k}}{{\frac{8}{3}}} = \frac{{k - 7}}{{k - 14}}\)

⇔ (1 – k)(k – 14) = \(\frac{8}{3}\)(k – 7)

⇔ - k² + 15k – 14 = \(\frac{8}{3}\)k – \(\frac{{56}}{3}\)

⇔ - 3k² + 45k – 42 = 8k – 56

⇔ 3k² – 37k – 14 = 0

⇔ k₁ ≈ 12,7 hoặc k₂ ≈ -0,37.

Ta thấy k₁ là giá trị dương nằm trong khoảng (12; 14).

Đáp án đúng là A

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( {3x - 3} \right)}^2}} = \sqrt {4 + {{\left( {3x - 3} \right)}^2}} \).

Độ dài của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Suy ra độ dài của vectơ 2\(\overrightarrow v \) là 2\(\left| {\overrightarrow v } \right| = 2.\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).

Để \(\left| {\overrightarrow u } \right|\) = 2\(\left| {\overrightarrow v } \right|\) thì\(\sqrt {4 + {{\left( {3x - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)

⇔ 4 + (3x – 3)² = 20

⇔ (3x – 3)² = 16

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x + 3 = 4\\3x + 3 = - 4\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x = 1\\3x = - 7\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{7}{3}\end{array} \right.\)

Ta thấy các giá trị \(\frac{1}{3}\) hay \( - \frac{7}{3}\) đều không là các giá trị nguyên. Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án đúng là B

Ta có \(\overrightarrow {MN} \left( { - 1; - 4} \right)\). Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó \(\overrightarrow {MF} \left( {x - 3;y + 1} \right)\)

Để M, N, F thẳng hàng khi \(\overrightarrow {MF} \) cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \) hay \(\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}}\)

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.

Đáp án đúng là A

Đáp án đúng là A

+) Xét cặp vectơ \(\overrightarrow z \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) ta có: \(\frac{{ - \frac{2}{5}}}{4} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{ - 2}}\). Do đó cặp vectơ \(\overrightarrow z \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) cùng phương.

Các cặp vectơ còn lại không cùng phương, thật vậy

+) Xét cặp vectơ \(\overrightarrow y \) và \(\overrightarrow z \) ta có: \(\frac{2}{{ - \frac{2}{5}}} \ne \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{5}}}\). Do đó cặp vectơ \(\overrightarrow y \) và \(\overrightarrow z \) không cùng phương.

Vì cặp vectơ \(\overrightarrow z \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) cùng phương nên cặp vectơ \(\overrightarrow y \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ \(\overrightarrow y \) và \(\overrightarrow x \) ta có: \(\frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{{ - \frac{1}{3}}}{3}\). Do đó cặp vectơ \(\overrightarrow y \) và \(\overrightarrow x \) không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ \(\overrightarrow x \) và \(\overrightarrow z \) ta có: \(\frac{{ - 1}}{{ - \frac{2}{5}}} \ne \frac{3}{{\frac{1}{5}}}\). Do đó cặp vectơ \(\overrightarrow x \) và \(\overrightarrow z \) không cùng phương.

Vì cặp vectơ \(\overrightarrow z \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) cùng phương nên cặp vectơ \(\overrightarrow x \) và \(\overrightarrow {\rm{w}} \) không cùng phương.

Vậy chỉ có duy nhất một cặp vectơ cùng phương

Đáp án đúng là C

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 2 giờ.

Khi đó, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = - 3 + 2.2\\y' = 2 + 2.5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 12\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1;12} \right)\)

Vậy sau khi khởi hành 2 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(1; 12).

Đáp án đúng là A

Đáp án đúng là D

+) Trọng tâm tam giác ABD là: \(\left( {\frac{{11 + 4 + 7}}{3};\frac{{ - 2 + 10 + 6}}{3}} \right) = \left( {\frac{{22}}{3};\frac{{14}}{3}} \right)\);

+) Trọng tâm tam giác ABC là: \(\left( {\frac{{11 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3};\frac{{ - 2 + 10 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{{13}}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\);

+) Trọng tâm tam giác ACD là: \(\left( {\frac{{11 + \left( { - 2} \right) + 7}}{3};\frac{{ - 2 + 2 + 6}}{3}} \right) = \left( {\frac{{16}}{3};2} \right)\);

+) Trọng tâm tam giác BCD là: \(\left( {\frac{{4 + \left( { - 2} \right) + 7}}{3};\frac{{10 + 2 + 6}}{3}} \right)\) = (3; 6).

Vậy G là trọng tâm tam giác BCD.

Đáp án đúng là B

Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{{1 + 2 + x}}{3}\\0 = \frac{{3 + 4 + y}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\y + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 7\end{array} \right.\]

Suy ra D(-3;-7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Vậy tổng x + y = -3 + (-7) = -10.