Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9. Tích của vectơ với một số có đáp án
-
232 lượt thi
-
15 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
14/07/2024Cho vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với số thực k như thế nào thì vectơ \(k\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)với số thực k < 0 là một vec tơ kí hiệu \(k\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Câu 2:
18/07/2024Cho vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) và hai số thực k, t. Khẳng định nào sau đây là sai?
Xem đáp án
Đáp án đúng là B
Ta có (k + t)\(\overrightarrow a \) = k\(\overrightarrow a \) + t\(\overrightarrow a \). Do đó B sai.
Câu 3:
21/07/2024Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \).Biết rằng C là trung điểm đoạn thẳng AB. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
Xem đáp án
Đáp án đúng là D
Vì C là trung điểm của đoạn thẳng AB nên AC = 2AB.
Ta có \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vectơ cùng hướng nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \). Suy ra k = 2 > 1.
Vậy k thỏa mãn điều kiện k > 1.
Câu 4:
23/07/2024Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định ví trí điểm K thỏa mãn \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \).
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
Xét đẳng thức: \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {KI} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {KI} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {IB} \) hay \(\overrightarrow {IK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IB} \)
Vì vậy điểm K là điểm nằm giữa I và B thỏa mãn \(IK = \frac{1}{3}IB\).
Câu 5:
18/07/2024Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Khi đó \(\overrightarrow {AM} = a\overrightarrow {AB} + b\overrightarrow {AC} \). Tính S = a + 2b.
Xem đáp án
Đáp án đúng là D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
⇔ \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
⇒ a = \(\frac{1}{2}\), b = \(\frac{1}{2}\).
⇒ S = a + 2b = \(\frac{1}{2}\) + 2.\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) + 1 = \(\frac{3}{2}\).
Vậy S = \(\frac{3}{2}\).Câu 6:
17/07/2024Các tam giác ABC có trọng tâm G; M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB. Biểu thị \(\overrightarrow {MG} \) thông qua hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
Xem đáp án
Đáp án đúng là B
Ta có: \[\overrightarrow {NG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \]
\[ = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]
\[ = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \].
Vậy \(\overrightarrow {NG} = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Câu 7:
22/07/2024Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác. Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Xem đáp án
Đáp án đúng là D
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Xét \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + 2\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MG} = - \overrightarrow {GC} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {GC} \).
Vậy G là điểm nằm giữa G và C sao cho \(GM = \frac{1}{4}GC\).
Câu 8:
14/07/2024Trong hình vẽ, hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \)hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), tức là tìm các số x, y, z, t để \(\overrightarrow u = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b ,\overrightarrow v = t\overrightarrow a + z\overrightarrow b .\)
Xem đáp án
Đáp án đúng là B
Ta có hình vẽ sau:
Xét hình bình hành OABC, có:
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow b ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow u \)
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b \) (quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OMNP, có:
\(\overrightarrow {ON} = \overrightarrow v ,\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow b ,\overrightarrow {OP} = - 2\overrightarrow a \)
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow a = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b .\)
Vậy \(\overrightarrow u = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v = - 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b .\)
Câu 9:
22/07/2024Cho tam giác ABC . Lấy E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = \[\frac{1}{3}\]AC. Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Để xác định vị trí điểm M, trước hết ta biểu thị \(\overrightarrow {AM} \) (với gốc A đã biết) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
Đẳng thức vec tơ đã cho tương đương với \(\overrightarrow {MA} + 3\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow 6\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vì E là trung điểm của AB và F thuộc cạnh AC sao cho AF = \[\frac{1}{3}\]AC nên \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vì vậy \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} \).
Suy ra M là đỉnh thứ tư của hình bình hành EAFM.
Câu 10:
26/11/2024Biết rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \) không cùng phương nhưng hai vectơ \(5x\overrightarrow a + 4\overrightarrow b \) và \(\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)cùng phương. Khi đó giá trị của x bằng:
Xem đáp án
Đáp án đúng là A
Lời giải
Vectơ \(5x\overrightarrow a + 4\overrightarrow b \) và \(\left( {3x - 2} \right)\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)cùng phương khi 5x = - 2(3x – 2)
⇔ 5x = -6x + 4
⇔ 11x = 4
⇔ x = \(\frac{4}{{11}}\).
Vậy x = \(\frac{4}{{11}}\).
*Phương pháp giải:
Sử dụng điều kiện hai véc tơ cùng phương để có được một phương trình ẩn .
- Giải phương trình ẩn và kết luận.
*Lý thuyết:
1. Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.
Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là và đọc là “vectơ AB”. Để vẽ được vectơ ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.
Đối với vectơ , ta gọi:
– Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B là giá của vectơ .
– Độ dài đoạn thẳng AB là độ dài của vectơ , kí hiệu là .
Vectơ còn được kí hiệu là , , , khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. Độ dài của vectơ được kí hiệu là
Ví dụ: Vectơ có độ dài là 5, ta có thể viết như sau: = 5.
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Định nghĩa:
– Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ:
Trên hình vẽ các vectơ , , cùng phương với nhau.
Nhận xét: Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Ví dụ:
Hai vectơ và cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói hai vectơ và cùng hướng. Hai vectơ và cùng phương nhưng ngược hướng nhau. Ta nói hai vectơ và là hai vectơ ngược hướng.
Xem thêm
Lý thuyết Khái niệm vectơ – Toán 10 Cánh diềuCâu 11:
17/07/2024Chất điểm A chịu tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \)như hình vẽ và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)). Tính độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\) biết \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn là 20N.
Xem đáp án
Đáp án đúng là A
Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = - \overrightarrow {{F_3}} \)
Mà \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \) (OBDA là hình bình hành)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OD} = - \overrightarrow {{F_3}} \)
\( \Rightarrow \)Hai vecto \(\overrightarrow {OD} \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) là hai vecto đối nhau
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OD} } \right| = \left| { - \overrightarrow {{F_3}} } \right|\) và \(\widehat {BOD} = {60^0}\).
Ta lại có: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {{F_1}} \)
Xét ΔOBD, có:
\(OB = \frac{{BD}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}\left( N \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }}N.\)
\(OD = \frac{{BD}}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\left( N \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}N.\)
Vậy độ lớn vecto \(\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là \(\frac{{20}}{{\sqrt 3 }}N,\frac{{40\sqrt 3 }}{3}N.\)
Câu 12:
21/07/2024Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 và giao điểm các đường chéo là H. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} \).
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Vì ABCD là hình bình hành nên AH = HC = \(\frac{1}{2}\)AC. Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + 2.\frac{1}{2}.\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
Gọi M là trung điểm của DC
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right|\)
Xét tam giác ADM vuông tại M, có:
AM2 = AD2 + DM2 = 22 + \({\left( {\frac{2}{2}} \right)^2}\)= 5 (định lí Py – ta – go)
⇔ AM = \(\sqrt 5 \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 5 .\)
Câu 13:
14/07/2024Cho tứ giác ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, CD. Đẳng thức nào dưới đây là sai?
Xem đáp án
Đáp án đúng là B
Ta có \[\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MD} \]
\[ = \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)\]
\[ = \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {MN} \]
\[ = 2\overrightarrow {MN} \]
Vậy \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} \).
Câu 14:
21/07/2024Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) khác vec tơ – không. Hai vec tơ nào dưới đây cùng phương?
Xem đáp án
Đáp án đúng là C
Ta có: \( - 6\left( {\frac{1}{6}\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = - \overrightarrow a + \overrightarrow b \). Do đó vectơ \(\frac{1}{6}\overrightarrow a - \overrightarrow b \) và \( - \overrightarrow a + 6\overrightarrow b \) cùng phương.
Câu 15:
19/07/2024Cho hình vẽ sau:
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
Xem đáp án
Đáp án đúng là A
+) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng và \(MP = \frac{4}{5}MN\). Suy ra \(\overrightarrow {MP} = \frac{4}{5}\overrightarrow {MN} \) hay \(5\overrightarrow {MP} = 4\overrightarrow {MN} \). Do đó A đúng.
+) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {PM} \) và \(\overrightarrow {PN} \) ngược hướng và PM = 4PN. Suy ra \(\overrightarrow {PM} = - 4\overrightarrow {PN} \). Do đó B sai.
+) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow {PN} \) và \(\overrightarrow {MN} \) cùng hướng và \(PN = \frac{1}{5}MN\). Suy ra \(\overrightarrow {PN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {MN} \). Do đó D sai.