27 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài Ôn tập Chương 1

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng

\sqrt{5}

, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

(A' B' C')

là trung điểm M của B’C’ và

A' M = \sqrt{5}

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

A.

\frac{2 \sqrt{5}}{3}

B.

\frac{2 \sqrt{15}}{3}

C.

\sqrt{5}

D.

\frac{\sqrt{15}}{3}

Xem đáp án

Qua M dựng mặt phẳng (P) vuông góc với AA’ cắt các cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại N, E, F.

Ta có:

$A A' ⊥ N E \Rightarrow N E = d (E, A A')$

$= d (N, B B') = d (A, B B') = 1$

$A A' ⊥ N F \Rightarrow N F = d (F, A A')$

$= d (N, C C') = d (A, C C') = 2$

$A A' ⊥ (P) \Rightarrow C C' ⊥ (P) \Rightarrow E F ⊥ C C'$

$\Rightarrow E F = d (E, C C') = d (F, B B')$

$= d (C, B B') = \sqrt{5}$

Có: $N E^{2} + N F^{2} = E F^{2} \Rightarrow Δ N E F$

vuông tại N (định lí Pitago)

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} E F = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Xét tam giác AA’M vuông tại M, ta có:

$\frac{1}{M N^{2}} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A' M^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{5} = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow A M = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Ta có: $\{\begin{matrix} (P) ⊥ A A' \\ (A' B' C') ⊥ A M \end{matrix}$

$\Rightarrow (\hat{(P), (A' B' C')}) = (\hat{A A', A M}) = \hat{A' M A}$

$\Rightarrow \cos \hat{A' M A} = \frac{A M}{A A'}$

$= \frac{\frac{\sqrt{15}}{3}}{\sqrt{5 + \frac{5}{3}}} = \frac{1}{2}$

Ta thấy $Δ N E F$ là hình chiếu vuông góc của $Δ A' B' C'$ lên mặt phẳng (P)

$\Rightarrow S_{A' B' C'} = \frac{S_{N E F}}{\cos \hat{A' A M}}$

$= \frac{\frac{1}{2} N E . N F}{\frac{1}{2}}$

$= 1.2 = 2$

$\Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = S_{A' B' C'} . A M$

$= 2. \frac{\sqrt{15}}{3} = \frac{2 \sqrt{15}}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi

V_{1}, V_{2}

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính

V_{1} + V_{2}

?

A.

\frac{17 \sqrt{2}}{8}

B.

\frac{51 \sqrt{2}}{16}

C.

\frac{\sqrt{2}}{4}

D.

\frac{51 \sqrt{2}}{8}

Xem đáp án

Tứ diện ABCD đều, gọi H là tâm tam giác đều

$B C D \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$

Có $(A M N) ⊥ (B C D)$

$\Rightarrow (A M N) \supset A H \Rightarrow H \in M N$

$\Rightarrow V_{A B M N} = \frac{1}{3} A H . S_{B M N}$ với AH không đổi.

Dễ thấy diện tích tam giác BMN nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác BMN đều, khi đó $M N / / C D$

$\frac{B M}{B C} = \frac{B H}{B E} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow B M = \frac{2}{3} B C = 2$

$\Rightarrow S_{B M N_{\min}} = \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$

Diện tích BMN lớn nhất khi và chỉ khi $[\begin{matrix} N \equiv D \\ M \equiv C \end{matrix}$ , khi đó:

$S_{B M N_{\max}} = \frac{1}{2} B E = \frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}}$

$= \sqrt{3^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{6}$

$\Rightarrow V_{1} = \frac{1}{3} . A H . S_{B M N_{\max}}$

$= \frac{1}{3} \sqrt{6} . \frac{9 \sqrt{3}}{8} = \frac{9 \sqrt{2}}{8}$

$\Rightarrow V_{2} = \frac{1}{3} . A H . S_{B M N_{\min}}$

$= \frac{1}{3} \sqrt{6} . \sqrt{3} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow V_{1} + V_{2} = \frac{17 \sqrt{2}}{8}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

17/07/2024

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 1, 2, 3 bằng:

A. 2

B. 3

C. 1

D. 6

Xem đáp án

Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước lần lượt 1, 2, 3 là: V = 1.2.3 = 6

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5:

18/07/2024

Khối chóp tam giác có độ dài 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh là a, 2a, 3a có thể tích lớn nhất bằng:

A.

4 a^{3}

B.

2 a^{3}

C.

a^{3}

D.

6 a^{3}

Xem đáp án

Xét khối chóp tam giác S.ABC,

có $\{\begin{matrix} S A = a, S B = 2 a \\ S C = 3 a, \hat{A S B} = α \end{matrix}$

và h là khoảng cách từ C đến (SAB)

Khi đó, thể tích khối chóp S.ABC là

$V = \frac{1}{3} . d (C; (S A B)) . S_{Δ S A B}$ (1)

Diện tích tam giác SAB là

$S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} . S A . S B . \sin \hat{A S B} = a^{2} . \sin α$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$V = \frac{1}{3} . h . a^{2} . \sin α$

mà $\{\begin{matrix} \sin α \leq 1 \\ h \leq S C = 3 a \end{matrix}$

$\Rightarrow V \leq \frac{1}{3} .3 a . a^{2} = a^{3}$

Dầu “=” xảy ra khi

$\sin α = 1, h = S C = 3 a$

hay hình chóp S.ABC là tứ diện vuông đỉnh S.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Khối hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là a, 2a, 3a có thể tích bằng:

A.

\frac{3 a^{3} \sqrt{2}}{5}

B.

6 a^{3}

C.

2 a^{3}

D.

6 a^{2}

Xem đáp án

Thể tích khối hộp chữ nhật là

$V = a .2 a .3 a = 6 a^{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

22/07/2024

Cho khối lăng trụ tam giác

A B C . A' B' C'

có thể tích V. Trên đáy A’B’C’ lấy điểm M bất kì. Thể tích khối chóp M.ABC tính theo V bằng:

A.

\frac{V}{2}

B.

\frac{2 V}{3}

C.

\frac{V}{3}

D.

\frac{3 V}{4}

Xem đáp án

Vì $M \in (A' B' C')$

$\Rightarrow d (M; (A B C)) = d ((A' B' C'); (A B C))$

$\Rightarrow V_{M . A B C} = \frac{1}{3} d (M, (A B C)) . S_{A B C} = \frac{1}{3} V$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và

\hat{B A D} = 60 °

, AB’ hợp với đáy (ABCD) một góc

30 °

. Thể tích của khối hộp là:

A.

\frac{a^{3}}{2}

B.

\frac{a^{3}}{6}

C.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}

D.

\frac{3 a^{3}}{2}

Xem đáp án

ABCD.’B’C’D’ là hình hộp đứng

$\Rightarrow B B' ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow (\hat{A B'; (A B C D)}) = (\hat{A B'; A B})$

$= \hat{B A B'} = 30 °$

Tam giác ABB’ vuông tại B

$\Rightarrow \tan \hat{B A B'} = \frac{B B'}{A B}$

$\Rightarrow B B' = A B . \tan 30 ° = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Tam giác ABD có:

$A B = A D = a, \hat{B A D} = 60 °$

$\Rightarrow$ tam giác ABD đều, có cạnh đều bằng a.

$\Rightarrow S_{A B D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow S_{A B C D} = 2. S_{A B D}$

$= 2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

$V = S_{A B C D} . B B' = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . \frac{a}{\sqrt{3}}$

$= \frac{a^{3}}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9:

15/07/2024

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A.

A B = a; A C = a \sqrt{3}; A A' = 2 a

. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

A.

a^{3} \sqrt{3}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

C.

2 a^{3} \sqrt{3}

D.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

Xem đáp án

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} a . a \sqrt{3}$

$= \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow V_{A B C . A' B' C'} = A A' . S_{A B C}$

$= 2 a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} = a^{3} \sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10:

Cho khối lập phương có thể tích bằng 27, diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho bằng:

A. 75

B. 36

C. 18

D. 54

Xem đáp án

Cạnh của khối lập phương đã cho là: $a = \sqrt[3]{27} = 3$ diện tích toàn phần của khối lập phương đã cho là: ${6.3}^{2} = 54$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 11:

Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng

\frac{a \sqrt{2}}{2}

. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}

C.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}

Xem đáp án

Thể tích của khối chóp đã cho là:

$V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} . a^{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB = a, SC hợp với (SAB) một góc

30 °

và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc

60 °

. Thể tích của khối chóp là:

A.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

C.

\frac{a^{3}}{27}

D.

\frac{a^{3}}{9}

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{matrix} A C ⊥ A B \\ A C ⊥ S B (S B ⊥ (A B C)) \end{matrix}\}$

$\Rightarrow A C ⊥ (S A B) \Rightarrow A C ⊥ S A$

$\Rightarrow$ SA là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB)

$\Rightarrow (\hat{S C; (S A B)}) = (\hat{S C; S A})$

$= \hat{C S A} = 30 °$

$\begin{matrix} (S A C) \cap (A B C) = A C \\ (S A C) \supset S A ⊥ A C \\ (A B C) \supset A B ⊥ A C \end{matrix}\}$

$\Rightarrow (\hat{(S A C); (A B C)}) = (\hat{S A; A B})$

$= \hat{S A B} = 60 °$

$S B ⊥ (A B C) \Rightarrow S B ⊥ A B$

$\Rightarrow Δ S A B$ vuông tại B

$\Rightarrow A B = S B . \cos 60 ° = a . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow S A = \sqrt{S B^{2} + A B^{2}}$

$= \sqrt{a^{2} + \frac{a^{3}}{3}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Xét tam giác vuông SAC ta có:

$A C = S A . \tan 30 ° = \frac{2 a}{\sqrt{3}} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 a}{3}$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C$

$= \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S B . S_{A B C}$

$= \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{27}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 13:

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD và MN = 8. Gọi là góc giữa hai đường thẳng BC và MN. Tính

Cho tứ diện ABCD có

A D = 14, B C = 6

A.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{2}}{4}

Xem đáp án

Gọi P là trung điểm của cạnh CD, ta có

$α = (\hat{M N; B C}) = (\hat{M N; N P})$

Trong tam giác MNP, ta có:

$\cos \hat{M N P} = \frac{M N^{2} + P N^{2} - M P^{2}}{2 M N . N P}$

$= \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{M N P} = 60 °$

Suy ra $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14:

Một lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 11cm, 12cm, 13cm và diện tích xung quanh bằng

144 c m^{2}

. Thể tích của khối lăng trụ đó là:

B.

12 \sqrt{105} c m^{3}

C.

18 \sqrt{105} c m^{3}

D.

6 \sqrt{105} c m^{3}

Xem đáp án

Ta có: $S_{x q} = (11 + 12 + 13) h = 144$

$\Rightarrow h = \frac{144}{36} = 4$

Nửa chu vi đáy là:

$\frac{11 + 12 + 13}{2} = 18$

Diện tích đáy:

$S_{d} = \sqrt{18 (18 - 11) (18 - 12) (18 - 13)}$

$= 6 \sqrt{105}$

Vậy thể tích khối lăng trụ:

$V = S_{d} . h =$ $24 \sqrt{105} c m^{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 15:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

S A ⊥ (A B C)

và

S A = a

. Tính thể tích khối chóp S.ABC

A.

V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

B.

V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

C.

V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

D.

V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

Xem đáp án

Ta có: $S A = a, S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Suy ra thể tích $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C}$

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 16:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

S A ⊥ (A B C D)

và

S A = a \sqrt{6}

. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}

B.

a^{3} \sqrt{6}

C.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

Xem đáp án

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D}$

$= \frac{1}{3} . a \sqrt{6} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau,

A B = 6 a, A C = 7 a, A D = 4 a

. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Thể tích V của tứ diện AMNP là:

A.

V = \frac{7 a^{3}}{2}

B.

V = 14 a^{3}

C.

V = \frac{28 a^{3}}{3}

D.

V = 7 a^{3}

Xem đáp án

Ta có:

ABCD là tứ diện vuông tại A nên

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D$

$= \frac{1}{6} .6 a .7 a .4 a = 28 a^{3}$

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện, ta có:

$\frac{V_{D A P N}}{V_{D A B C}} = \frac{D A}{D A} . \frac{D P}{D B} . \frac{D N}{D C}$

$= \frac{1}{1} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow V_{D A P N} = \frac{1}{4} V_{D A B C}$

$= \frac{1}{4} .28 a^{3} = 7 a^{3}$

$\frac{V_{B A P M}}{V_{B A D C}} = \frac{B A}{B A} . \frac{B P}{B D} . \frac{B M}{B C}$

$= \frac{1}{1} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow V_{B A P M} = \frac{1}{4} V_{B A D C}$

$= \frac{1}{4} .28 a^{3} = 7 a^{3}$

$\frac{V_{C A M N}}{V_{C A B D}} = \frac{C A}{C A} . \frac{C M}{C B} . \frac{C N}{C D}$

$= \frac{1}{1} . \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow V_{C A M N} = \frac{1}{4} V_{C A B D}$

$= \frac{1}{4} .28 a^{3} = 7 a^{3}$

Do đó:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Một hình chóp tứ giác đều có mấy mặt đối xứng:

A. 3

B. 2

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu của đỉnh S trên đáy trùng với tâm đáy.

Hình chóp S.ABCD có các mặt đối xứng là $(S A C), (S B D), (S G I), (S H J)$ với G, H, I, J lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

Trắc nghiệm Ôn tập Chương I - Khối đa diện có đáp án - Toán lớp 12 (ảnh 14)

A. Tứ diện đều

B. Bát diện đều

D. Lăng trụ lục giác đều

Xem đáp án

Dễ dàng thấy bát diện đều, hình lập hương và lăng trụ lục giác đều có tâm đối xứng. Còn tứ diện đều không có.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh C,

Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 15cm và 5cm. Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp (có đáy tiếp xức như hình vẽ). Thể tích của chiếc hộp đó bằng

A.

1500 c m^{3}

B.

600 \sqrt{6} c m^{3}

C.

1800 c m^{3}

D.

750 \sqrt{3} c m^{3}

Xem đáp án

Ta có: $A B = S P = 2 M N = 10 c m$

$A D = M R = \sqrt{5^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}} = 5 \sqrt{3}$

$\Rightarrow S_{A B C D} = A B . A D = 50 \sqrt{3} c m^{2}$

$V = S_{A B C D} . h = 50 \sqrt{3} .15 = 750 \sqrt{3} c m^{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

15/07/2024

A B = a \sqrt{5}, A C = a

. Cạnh bên

S A = 3 a

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

A.

\frac{\sqrt{5}}{2} a^{3}

B.

3 a^{3}

C.

a^{3}

D.

2 a^{3}

Xem đáp án

Vì tam giác ABC vuông nên áp dụng Pitago

$C B = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}} = \sqrt{5 a^{2} - a^{2}} = 2 a$

Diện tích đáy:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . a .2 a = a^{2}$

Thể tích khối chóp:

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . S A$

$= \frac{1}{3} . a^{2} .3 a = a^{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc

45 °

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

A.

\frac{5 a^{3} \sqrt{2}}{12}

B.

\frac{5 a^{3} \sqrt{2}}{6}

C.

\frac{5 a^{3} \sqrt{2}}{8}

D.

\frac{5 a^{3} \sqrt{2}}{24}

Xem đáp án

$\begin{matrix} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A D) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \cap (S A D) = S A \end{matrix}\} \Rightarrow S A ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow A C$ là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)

$\Rightarrow (\hat{S C; (A B C D)}) = (\hat{S C; A C}) = \hat{S C A} = 45 °$

(vì $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C \Rightarrow Δ S A C$

vuông tại A $\Rightarrow \hat{S C A} < 90 °$ )

$\Rightarrow S A = A C = a \sqrt{2}$

$S_{A B C D} = a^{2}$

$S_{A M N} = \frac{1}{2} A M . A N = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2} = \frac{a^{2}}{8}$

$S_{B C M} = \frac{1}{2} B M . B C = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . a = \frac{a^{2}}{4}$

$\Rightarrow S_{M C D N} = S_{A B C D} - S_{A M N} - S_{B C M}$

$= a^{2} - \frac{a^{2}}{8} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{5 a^{2}}{8}$

$\Rightarrow V_{S . M C D N} = \frac{1}{3} S A . S_{M C D N}$

$= \frac{1}{3} a \sqrt{2} . \frac{5 a^{2}}{8} =$ $\frac{5 a^{3} \sqrt{2}}{24}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 23:

Cho khối lăng trụ tam giác đều

A B C . A_{1} B_{1} C_{1}

có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung diểm của

A A_{1}

. Thể tích khối chóp

M . B C A_{1}

là:

A.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}

Xem đáp án

$Δ A B C$ là tam giác đều cạnh a nên có diện tích $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Ta có: $A M = \frac{A A_{1}}{2} = \frac{a}{2}$

Hai tứ diện MABC và $M A_{1} B C$ có chung đỉnh C, diện tích hai đáy $M A B$ và $M A_{1} B$ bằng nhau nên có thể tích bằng nhau. Suy ra:

$V_{M . B C A_{1}} = V_{M . A B C}$

$= \frac{1}{3} A M . S_{A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

có thể tích bằng V. gọi M là trung điểm cạnh BB’, điểm N thuộc cạnh CC’ sao cho

Cho hình lăng trụ

A B C . A' B' C'

C N = 2 C' N

. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo V

A.

V_{A . B C N M} = \frac{7 V}{12}

B.

V_{A . B C N M} = \frac{7 V}{18}

C.

V_{A . B C N M} = \frac{V}{3}

D.

V_{A . B C N M} = \frac{5 V}{18}

Xem đáp án

Ta có:

$S_{B C C' B'} = d (B; C C') . C C'$

$S_{B M N C} = \frac{(B M + C N) d (B; C C')}{2}$

$= \frac{1}{2} d (B; C C') (\frac{1}{2} C C' + \frac{2}{3} C C')$

$= \frac{7}{12} d (B; C C') . C C'$

$\Rightarrow \frac{S_{B M N C}}{S_{B C C' B'}} = \frac{7}{12} \Rightarrow \frac{V_{A . B M N C}}{V_{A . B C C' B'}} = \frac{7}{12}$

$\Rightarrow V_{A . B M N C} = \frac{7}{12} V_{A . B C C' B'}$

Mà $V_{A . B C C' B'} = \frac{2}{3} V$

$\Rightarrow V_{A . B M N C} = \frac{7}{12} . \frac{2}{3} V = \frac{7}{18} V$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25:

15/07/2024

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là

16 c m^{2}

, diện tích một mặt bên là

8 \sqrt{3} c m^{2}

. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A.

\frac{32 \sqrt{2}}{3} c m^{3}

B.

\frac{32 \sqrt{13}}{3} c m^{3}

C.

\frac{32 \sqrt{11}}{3} c m^{3}

D.

4 c m^{3}

Xem đáp án

Gọi $O = A C \cap B D$ .

Vì chóp S.ABCD đều nên $S O ⊥ (A B C D)$

Vì chóp S.ABCD đều nên ABCD là hình vuông

$\Rightarrow S_{A B C D} = A B^{2} = 16$

$\Rightarrow A B = 4 (c m) = A D$

Gọi E là trung điểm của AB

$\Rightarrow$ OE là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow O E / / A D \Rightarrow O E ⊥ A B$

và $O E = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} .4 = 2 (c m)$

$\begin{matrix} O E ⊥ A B \\ S O ⊥ A B (S O ⊥ (A B C D)) \end{matrix}\}$

$\Rightarrow A B ⊥ (S O E) \Rightarrow A B ⊥ S E$

$\Rightarrow S_{Δ S A E} = \frac{1}{2} S E . A B = 8 \sqrt{3}$

$\Rightarrow S E = \frac{16 \sqrt{3}}{A B} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}$

$S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ O E \Rightarrow Δ S O E$

vuông tại O

$\Rightarrow S O = \sqrt{S E^{2} - O E^{2}}$

$= \sqrt{48 - 4} = \sqrt{44} = 2 \sqrt{11} (c m)$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}$

$= \frac{1}{3} .2 \sqrt{11} .16 = \frac{32 \sqrt{11}}{3} (c m^{3})$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 26: