Đáp án C

Phương pháp:

* Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

- Bước 1: Tìm tập xác định, tính f'(x)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Tập xác định: D = R\{2}

=> Hàm số nghịch biến trên các khoảng 

Đáp án C

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: Sxq = 2(a + b)h (trong đó, a, b là chiều dài, chiều rộng của đáy, h là chiều cao)

Diện tích xung quanh của lăng trụ tứ giác đều: Sxq = 4ah trong đó, a là độ dài cạnh đáy, h là chiều cao) .

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho bằng: 4.a.2a = 8a2

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích khối cầu có bán kính R là $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3$

Cách giải:

Bán kính của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh $2\sqrt{2}$ chính là nửa độ dài đường chéo các mặt của hình lập phương và bằng:

Đáp án A

Phương pháp:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x)

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x)

 là TCĐ của đồ thị hàm số.

=>  Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là y = 0

Đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng là x = -2 và x = 2.

 Đáp án A

Phương pháp: 

Đáp án C

Phương pháp:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 - 4x + 1 và đường thẳng y = x + 1 là:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm và bằng 3.

Đáp án C

Phương pháp:

Xét hàm số có dạng y = ax, a > 0, a ≠ 1

+ Nếu 0 < a < 1: hàm số nghịch biến trên (-∞;+∞)

+ Nếu a > 1: hàm số đồng biến trên (-∞;+∞)

Đáp án B

Cách giải:

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)

Đáp án D

Phương pháp:

Điều kiện xác đinh:

Kết hợp điều kiện xác định, suy ra, bất phương trình có tập nghiệm$S=\left(\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right)$

Đáp án B

Phương pháp

= 4 - 2a

Đáp án A

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là:

Vậy, đồ thị hàm số $y=\left|x-1\right|\left(\frac{1}{3}{x}^2-2\left|x\right|+3\right)$ giao với trục hoành tại 3 điểm.

Đáp án D

Cách giải:

Một hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

Đáp án B

Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tính đạo hàm

- Lập bảng xét dấu y’

- Xác định điểm cực đại và tính giá trị cực đại.

Cách giải:

Tập xác định: D = R

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCĐ = 2

Đáp án C

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tính y’

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[-1;\frac{1}{2}\right]$

- Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Tính tích M.m.

Cách giải:

TXĐ: D = R\{1}

Đáp án B

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πRh

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + S2đáy = 2πRh + 2πR2

Cách giải:

Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a nên hình trụ đã cho có chiều cao h = a, bán kính đáy $R=\frac{a}{2}$

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Đáp án A

Phương pháp:

Khối chóp S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một là một tứ diện vuông tại đỉnh S

Thể tích của tứ diện vuông có độ dài ba cạnh góc vuông bằng a, b, c là: $V=\frac{abc}{6}$

Cách giải:

Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

Đáp án A

Phương pháp:

Dựa vào BBT và đánh giá từng đáp án.

Cách giải:

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [0;1], đoạn này có độ dài bằng 1 ⇒ Phương án A đúng.

Hàm số không có GTLN, GTNN trên R ⇒ B và D sai.

Hàm số đạt cực trị tại 2 điểm ⇒ C sai

Đáp án D

Phương pháp:

Khối bát diện đều được ghép bởi hai khối chóp tứ giác bằng nhau, do vậy, ta tính thể tích bát diện bằng cách tính 2 lần thể tích khối chóp tứ giác đều.

Đáp án C

Cách giải:

M di động luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông ⇒ M thuộc mặt cầu có một đường kính là AB.

Đáp án D

Do a.c = 1.(-4) < 0 nên phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu.

Đáp án A

Phương pháp:

Đưa về cùng số mũ.

Cách giải:

Phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất.

 Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tính y’

- Lập bảng xét dấu y’

- Đánh giá khoảng nghịch biến.

Cách giải:

Bảng xét dấu y’:

Hàm số $y=\sqrt{x^2-x}$ nghịch biến trên khoảng (-∞;0)

 Đáp án D

Phương pháp:

Đánh giá từng đáp án.

Cách giải:

(1) Hàm số y = log2x đồng biến trên khoảng (0;+∞): đúng, do 2 > 1

(2) Hàm số y = log2x có một điểm cực tiểu: sai, hàm số y = log2x luôn đồng biến trên (0;+∞)

(3) Đồ thị hàm số y = log2x có tiệm cận: đúng, tiệm cận đó là đường x = 0

Số phát biểu đúng là 2.

Đáp án B

Phương pháp:

Phân biệt dạng đồ thị của các hàm số : bậc nhất trên bậc nhất, bậc ba, bậc bốn trùng phương.

Cách giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy, đồ thị hàm số không thể là đồ thị của hàm bậc nhất trên bậc nhất và bậc bốn trùng phương. Do đó, loại phương án A và D.

Còn lại, phương án B và C là các hàm số bậc ba.

Quan sát đồ thị ta thấy, khi x → +∞ thì y → +∞ nên ta chọn B (a = 1 > 0)

Đáp án D

Phương pháp:

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, (a,c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) có tiệm cận đứng là 

Cách giải:

Các tiệm cận của đồ thị hàm số

Đáp án B

Phương pháp:

Diện tích hình tròn bán kính R: $S={\mathrm{\pi R}}^2$

Diện tích xung quanh của khối nón: Sxq = πRl

Cách giải:

Theo đề bài, ta có tam giác SAB vuông cân tại S và SΔSAB = 8

Ta có:

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt 2x = t, (t > 0). Giải phương trình tìm , sau đó tìm và tổng các nghiệm.

Cách giải:

Đặt 2x = t, (t > 0). Phương trình trở thành:

Tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là: 1 + 2 = 3

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tìm GTNN, GTLN của hàm số.

Cách giải:

Đáp án C

Cách giải:

Khối mười hai mặt đều là khối đa diện đều loại {5;3}

Đáp án A

Phương pháp:

Cắt khối hình bởi mặt phẳng đi qua trục

Tính độ dài x cạnh của hình lập phương

Tính độ dài đường chéo của hình lập phương: $x\sqrt{3}$

Cách giải:

Xét mặt cắt qua trục có SH = h = 6, HA = HB = r = 3

Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x.

=> Độ dài đường chéo của hình lập phương là: $3\sqrt{3}$

Đáp án D

Phương pháp:

Tính thể tích của khối lăng trụ đứng, có đáy là hình thang cân mà hai cạnh bên bằng đáy bé và bằng 20cm.

Thể tích lớn nhất khi diện tích của hình thang cân lớn nhất.

Cách giải:

Thể tích nước lớn nhất khi diện tích của hình thang cân lớn nhất

Gọi độ dài đường cao là h. Khi đó, AE = BF = h,

Từ đó, suy ra 

Bảng xét dấu:

Diện tích hình thang lớn nhất khi $h=10\sqrt{3}$

Đáp án B

Phương pháp:

Công thức: An = M(1 + r%)n

Với: An là mật độ dân số ở năm thứ n,

M là mật độ dân số ban đầu,

n là thời gian (năm),

r là mức tăng trưởng dân số.

Cách giải:

Ta có:

⇒ Ta cần 10 năm để đạt mật độ dân số như vậy

⇒ Đến năm 2027 mật độ dân số nước ta đạt đến con số đó.

Đáp án D

Cách giải:

Ta thấy, hai hàm số y = logax, y = logb⁡x đều đồng biến trên (0;+∞) ⇒ a, b > 1

Lấy x0 > 0 bất kì, ta thấy logax0 > logbx0 ⇒ a < b ⇒ 1 < a < b

Hàm số y = cx nghịch biến trên R ⇒ c < 1 ⇒ c < a < b

Đáp án A

 Đáp án A

Phương pháp:

Cô lập m, đưa về dạng f(x) = m

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

Cách giải:

Điều kiện: x ≠ 2, x ≠ -4

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x2 + 2x - 8| và đường thẳng y = 2m

Quan sát đồ thị hàm số bên, ta thấy, để đồ thị hàm số y = |x2 + 2x - 8| cắt đường thẳng y = 2m tại 4 điểm phân biệt thì 0 < 2m < 9 ⇔ m < log29 ⇔ m < 2 log23

Đáp án C

Phương pháp:

Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}Sh$

Cách giải:

Kẻ SH vuông góc AB (H thuộc AB). Do mặt bên SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ⇒ SH ⊥ (ABCD)

=> SH =3

Thể tích khối S.BCD

Đáp án B

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ AH vuông góc mặt phẳng (BCD) (H thuộc (BCD)) ⇒ H ∈ BM, AH ⊥ HM

VABCD lớn nhất khi và chỉ khi AH có độ dài lớn nhất, tức là khi H trùng M

Hai tam giác ACD, BCD đều, cạnh a, có đường cao AM, BM bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ABM vuông cân tại A, lấy N là trung điểm của AB ⇒ MN ⊥ AB

Mà MN ⊂ (AMB) ⊥ CD ⇒ MN ⊥ CD ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là:

Đáp án B

Phương pháp:

Mặt cầu tâm A tiếp xúc với (SBC) có bán kính R = d(A;(SBC))

Diện tích mặt cầu: Smc = 4πR2

Cách giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; O là giao điểm của AN và CM. Kẻ AH ⊥ SN (H ∈ SN)

Tam giác ABC đều, tâm O

Tam giác SAO vuông tại O 

Tam giác SBC cân tại N ⇒ SN ⊥ BC ⇒ Tam giác SNC vuông tại N

Tam giác AHN đồng dạng tam giác SON

Diện tích mặt cầu:

Đáp án A

Phương pháp:

Tìm số đường tiệm cận của từng đồ thị hàm số

Cách giải:

có 3 đường tiệm cận là x = 0, x = 2, y = 0

có 1 đường tiệm cận là x = 1, x = -1

có 2 đường tiệm cận là x = 0, y = 0

  có 2 đường tiệm cận là x = 2, y = 0

Đáp án B

Phương pháp:

Trải tất cả các mặt của hình hộp chữ nhật ra cùng một mặt phẳng.

Cách giải:

Để đến được B, đầu tiên con kiến phải đi trên một trong các mặt bên và đi đến một trong các cạnh bên: NP, PE, QE, MQ, MF, NF

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh MF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì A, I, B thẳng hàng:

Độ dài

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh NF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì A, I, B thẳng hàng:

Độ dài

* Giả sử con kiến đi đến I trên cạnh PF sau đó tới B, khi đó để độ dài quãng đường là ngắn nhất thì A, I, B thẳng hàng:

Độ dài 

Vậy, quãng đường ngắn nhất con kiến đi là $10\sqrt{34} cm$

Đáp án D

Phương pháp:

Khảo sát, tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số. Từ đó tính S.

Cách giải:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, giá trị cực đại y1 = -4, đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y2 = 4

S = y1 - y2 = - 4 - 4 = -8

Đáp án C.

Cách giải:

Đặt y = f(x).g(x) = h(x). Khi đó:

h(0) = f(0).g(0) = 0.0 = 0

h(1) = f(1).g(1) = 1.(-1) = -1

Do đó, ta chọn phương án C

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Cách giải:

Đáp án C

Phương pháp:

+) Tính y’, giải phương trình y' = 0 ⇒ các cực trị của hàm số.

+) Tính các giá trị cực trị của hàm số và yCT.yCĐ < 0

Cách giải:

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu ⇒ (-2 + m)(2 + m) < 0 ⇔ -2 < m < 2

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, B(2a;0;0), C(2a;2a;0), E(a;0;0), S(0;0;a)

Gọi I(x0;y0;z0) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC. Khi đó, IS2 = IB2 = IC2 = IE2

Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tìm nghiệm và điểm không xác định của y’

- Tính các giá trị tại $\frac{1}{e^2}$, tại , tại nghiệm của y’ . Tìm GTLN, GTNN trong các giá trị đó. e

- Tính tích M.m.

Cách giải:

TXĐ: D = (0;+∞)

Ta có:

Đáp án D

Phương pháp:

Chia cả hai vế cho 4x, đặt ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=t$

Giải phương trình tìm t, từ đó tìm x và tổng x1 + x2

Cách giải:

Đáp án B

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình |x3| - 3x2 - m2 = 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x|3 - 3x2 và đường thẳng y = m2

Phác họa đồ thị hàm số , từ đó nhận xét số giao điểm trên.

Cách giải:

Số nghiệm của phương trình |x3| - 3x2 - m2 = 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = |x|3 - 3x2 và đường thẳng y = m2

Từ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2

Ta vẽ được đồ thị hàm số y = |x|3 - 3x2 như sau:

Do m2 ≥ 0,∀m nên đồ thị hàm số y = |x|3 - 3x2 cắt đường thẳng y = m2 tại nhiều nhất 3 điểm.

Đáp án D

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2x + m:

Dễ dàng kiểm tra được x = 2 không phải nghiệm của phương trình (*) với mọi m

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì Δ > 0 ⇔ (m - 6)2 + 8(2m + 3) > 0 ⇔ m2 + 4m + 60 > 0, luôn đúng

Tiếp tuyến của (C) tại hai điểm giao song song với nhau

Vậy, có 1 giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.