47 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết (Đề số 3)

Câu 1:

17/06/2026

Hàm số nào sau đây đồng biến trên R

A. y = 3tanx

B. $y = 2 x^{4} + x^{2}$

C. $y = x^{3} - 3 x - 1$

D. $y = x^{3} + 2018$

Xem đáp án

$y' = 3 x^{2} \geq 0 \forall x \in ℝ$

Nên hàm số $y = x^{3} + 2018$ luôn đồng biến trên R

Đáp án cần chọn là D

Câu 2:

17/06/2026

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$ có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 {(x - 1)}^{2} \geq 0 \forall x \in ℝ$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên tập xác định dẫn tới không có cực trị

Đáp án cần chọn là A

Câu 3:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ , có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Mệnh đê nào sau đây sai.

A. Hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị

B. Hàm số y = f(x) có một điểm cực trị

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

Xem đáp án

Ta thấy y' không đổi dấu khi qua nên hàm số chỉ có một cực trị.

Chọn đáp án A

Câu 4:

17/06/2026

Tìm tập xác định D của hàm số $y = \log (x^{3} - 3 x + 2)$

A. D = ( -2;1 )

B. $D = (- 2; + \infty)$

C. $D = (1; + \infty)$

D. $D = (- 2; + \infty) ∖ \{1\}$

Xem đáp án

Hàm số đã cho xác định

$\Leftrightarrow x^{3} - 3 x + 2 > 0 \Leftrightarrow (x + 2) {(x - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x > - 2 \end{cases}$

Đáp án cần chọn là D

Câu 5:

17/06/2026

Tìm tập xác định D của hàm số $y = x^{2017}$

A. $D = (- \infty; 0)$

B. $D = (0; + \infty)$

C. D = R

D. $D = [0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là C

Câu 6:

17/06/2026

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x}$

A. $\int e^{2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

B. $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

C. $\int e^{2 x} d x = 2 e^{2 x} + C$

D. $\int e^{2 x} d x = - 2 e^{2 x} + C$

Xem đáp án

Theo công thức nguyên hàm cơ bản

$\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C$

Suy ra $\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Đáp án cần chọn là B

Câu 7:

17/06/2026

Kết quả của tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$ bằng bao nhiêu?

A. I = 1

B. I = -2

C. I = 0

D. I = -1

Xem đáp án

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

= ${\sin (x)}_{0}^{\frac{π}{2}} = \sin (\frac{π}{2}) - \sin (0) = 1$

Đáp án cần chọn là A

Câu 8:

17/06/2026

Số phức z = a + bi thỏa mãn $2 z + z - 5 + i = 0$ . Tính 3a + 2b ?

A. 3

B. -7

C. 6

D. -3

Xem đáp án

$2 z + z - 5 + i = 0$

$\Leftrightarrow 2 (a + b i) + (a - b i) - 5 + i = 0 \Leftrightarrow (3 a - 5) + (b + 1) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 5 = 0 \\ b + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{5}{3} \\ b = - 1 \end{cases}$

Vậy 3a + 2b = 3

Đáp án cần chọn là A

Câu 9:

17/06/2026

Phương trình đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 + 4 t \\ y = - 6 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

Đi qua điểm?

A. ( -2;-6;1 )

B. ( 4;-6;2 )

C. ( 2;-6;3 )

D. ( 2;0;1 )

Xem đáp án

Với t = 1 thì A ( 2;-6;3 )

Đáp án cần chọn là C

Câu 10:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 3;3;2 ) và B ( 5;1;4 ). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

A. $I (\frac{7}{2}; 3; \frac{- 5}{2})$

B. I ( 4;2;3 )

C. $I (2; \frac{3}{2}; - 1)$

D. $I (- 1; \frac{- 1}{2}; \frac{5}{2})$

Xem đáp án

Tọa độ trung điểm $I : \{\begin{cases} x = \frac{3 + 5}{2} = 4 \\ y = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ z = \frac{2 + 4}{2} = 3 \end{cases}$

Suy ra I ( 4;2;3 )

Đáp án cần chọn là B

Câu 11:

17/06/2026

Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 4 + t \end{cases} (t \in R)$ . Vectơ nào dưới đây là

vectơ chỉ phương của d?

A. $\vec{u_{1}}$ ( 0;2;4 )

B. $\vec{u_{1}}$ ( 2;-1;0 )

C. $\vec{u_{1}}$ ( 1;-1;1 )

D. $\vec{u_{1}}$ ( -2;3;5 )

Xem đáp án

$d : \{\begin{cases} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 4 + t \end{cases} (t \in R)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$ ( 1;-1;1 )

Đáp án cần chọn là C

Câu 12:

17/06/2026

Cho khối chóp S.ABCD, hỏi hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp?

A. 4

B. 3

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Mặt phẳng (SAC) và (SBD) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối chóp thành 4 khối chóp là các khối chóp sau S.ABO, S.ADO, S.CDO, S.BCO.

Đáp án cần chọn là A

Câu 13:

17/06/2026

Cho 4 ô tô khác nhau và 3 xe máy giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 7 xe vào 8 chỗ trống sao cho ô tô cạnh nhau và xe máy cạnh nhau?

A. 48

B. 144

C. 288

D. 432

Xem đáp án

Số cách xếp là 3!.4!=144

Đáp án cần chọn là B

Câu 14:

17/06/2026

Giá trị của $A = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 4 x + 3}$ bằng

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{3}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Ta có: $A = \lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 4 x + 3}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x^{2} - 2 x - 2)}{(x - 1) (x - 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 2 x - 2}{x - 3} = \frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là C

Câu 15:

17/06/2026

Hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{x} - 1}$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $[2; + \infty)$

B. $[0; + \infty)$

C. $[4; + \infty)$

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} + x_{1} x_{2} x_{3} = 20 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2} x_{3} = 20$

${(\frac{- b}{a})}^{2} - 2 . (\frac{c}{a}) - \frac{d}{a} = 20 \Leftrightarrow {(\frac{3 m}{2})}^{2} - 2 (3 m - 1) - 6 m = 20$

$\Leftrightarrow \frac{9 m^{2}}{4} - 12 m - 18 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2}$

Hàm số đồng biến trên $[4; + \infty)$

Đáp án cần chọn là C

Câu 16:

17/06/2026

Giá trị của m để đồ thị y = mx + 4 và $y = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ có 2 điểm chung là

A. -2 < m < 2 và $m \neq 0$

B. m > 2 hay m < -2

C. $m \neq 0$

D. Với mọi m

Xem đáp án

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

$m x + 4 = \frac{2 x + 3}{x + 1} \Rightarrow m x^{2} - (m + 2) x + 1 = 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m \neq 0 \\ ∆ = {(m + 2)}^{2} - 4 m > 0 \\ m - (m + 2) + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \neq 0$

Chọn đáp án C

Câu 17:

17/06/2026

Giá trị của $P = \log_{\frac{1}{\sqrt[3]{a}}} (\frac{\sqrt[3]{a^{2}} . \sqrt[4]{a^{5}}}{\sqrt[5]{a^{3}}}) (a > 0, a \neq 1)$ là

A. $\frac{- 53}{20}$

B. $\frac{- 79}{20}$

C. $\frac{- 62}{15}$

D. $\frac{- 34}{15}$

Xem đáp án

$P = \log_{\frac{1}{\sqrt[3]{a}}} (\frac{\sqrt[3]{a^{2}} . \sqrt[4]{a^{5}}}{\sqrt[5]{a^{3}}})$

$= \log_{a^{\frac{- 1}{3}}} (a^{\frac{2}{3} + \frac{5}{4} + \frac{3}{5}}) = \log_{a^{\frac{- 1}{3}}} (a^{\frac{79}{60}}) = (- 3) . \frac{79}{60} . \log_{a} (a) = \frac{- 79}{20}$

Chọn đáp án B

Câu 18:

17/06/2026

Họ nguyên hàm của $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x (x + 1)}$ là

A. $\frac{x^{3}}{3} - \ln (|\frac{x}{x + 1}|) + C$

B. $\frac{x^{3}}{3} - \ln (|x (x + 1)|) + C$

C. $\frac{x^{3}}{2} - \frac{1}{2} \ln (|\frac{x}{x + 1}|) + C$

D. $\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \ln (|\frac{x}{x + 1}|) + C$

Xem đáp án

Ta dùng CASIO đạo hàm tại 1 điểm

f '(0) = 2 nên loại được 2 đáp án B và D

$f' (1) = \frac{4}{3} < 2$

Chọn đáp án A

Câu 19:

17/06/2026

Trong C, phương trình $\frac{4}{z + 1} = 1 - i$ có nghiệm là

A. z = 2 - i

B. z = 3 + 2i

C. z = 5 - 3i

D. z = 1 + 2i

Xem đáp án

4 = ( 1 - i )( z + i )

$\Leftrightarrow$ ( 1 - i )z = 4 - 1 + i

$\Leftrightarrow$ z = $\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i) (1 + i)}{2} = 1 + 2 i$

Chọn đáp án D

Câu 20:

17/06/2026

Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại { 5;3 }

A. 12 $π$

B. 36 $π$

C. 18 $π$

D. 24 $π$

Xem đáp án

Khối đa diện đều loại { 5;3 } là khối mười hai mặt đều, gồm 12 mặt là các ngũ giác đều nên tổng các góc bằng 12.3 $π$ = 36 $π$ (mỗi mặt chia thành 5 tam giác để tổng góc)

Chọn đáp án B

Câu 21:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ , $S A = a \sqrt{6}$ . Gọi $α$ là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $α = 30^{o}$

B. $\cos (α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $α = 45^{o}$

D. $α = 60^{o}$

Xem đáp án

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD).

Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc SC&AC $\Rightarrow α$ = SCA.

Xét tam giác SAC vuông tại A có

$\tan (α) = \frac{S A}{A C} = \frac{a \sqrt{6}}{a \sqrt{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow α = 60^{o}$

Chọn D

Câu 22:

17/06/2026

Cho hình nón có diện tích toàn phần bằng $5 {πα}^{2}$ và bán kính đáy bằng a. Tính độ dài đường sinh l của hình nón đã cho

A. I = 5a

B. I = 4a

C. I = 2a

D. I = 3a

Xem đáp án

$S_{t p} = S_{x q} + S_{d} \Leftrightarrow 5 {πα}^{2} = π . α . 1 + π . α^{2} \Rightarrow 1 = \frac{5 πα - π . α^{2}}{π . α} = 4 a$

Chọn đáp án B

Câu 23:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;-3;2 ) và đường thẳng $∆$ có phương trình $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{1}$ . Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng $∆$ là

A. ( 0;-2;1 )

B. ( -1;1;-1 )

C. ( 1;0;2 )

D. ( 2;2;3 )

Xem đáp án

Gọi $H (1 + t; 2 t; 2 + t) \in ∆$ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $∆$ .

Ta có $\vec{M H} (1 + t; 2 t; 2 + t)$ và $\vec{u_{∆}} (1; 2; 1)$ là VTCP của đường thẳng $∆$

Vì

$M H ⊥ ∆ \Leftrightarrow \vec{M H} . \vec{u_{∆}} = 0 \Leftrightarrow t + 2 (2 t + 3) + t = 0 \Leftrightarrow 6 t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

nên H ( 0;-2;1 )

Chọn đáp án A

Câu 24:

17/06/2026

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2}$

A. $- C_{16}^{12} . 2^{4} . 3^{12}$

B. $C_{16}^{0} . 2^{16}$

C. $C_{16}^{12} . 2^{4} . 3^{12}$

D. $C_{16}^{16} . 2^{0}$

Xem đáp án

Từ phương trình $C_{n}^{3} + 2 n = A_{n + 1}^{2}$ nên n = 8

Với n = 8, ta có

${(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{2 n} = {(2 x - \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{16} = \sum_{k = 0}^{16} . C_{16}^{k} . {(2 x)}^{16 - k} (- \frac{3}{\sqrt[3]{x}}) = \sum_{k = 0}^{16} . C_{16}^{k} . {(2 x)}^{16 - k} . {(- 3)}^{k} . x^{16 - \frac{4 k}{3}}$

Số hạng không chứa x ứng với $16 - \frac{4 k}{3} = 0 \Leftrightarrow k = 12$

số hạng cần tìm $C_{16}^{12} . 2^{4} . 3^{12}$

Chọn C

Câu 25:

17/06/2026

Tại cuộc thi, Ban tổ chức sử dụng 7 thẻ vàng và 7 thẻ đỏ, đánh dấu mỗi loại các số 1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau?

A. 25401600

B. 3628800

C. 7257600

D. 50803200

Xem đáp án

+ Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ đỏ nằm ở vị trí chẵn, ta có. 7!.7! cách xếp khác nhau

+ Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí chẵn thì các thẻ đỏ nằm ở vị trí lẻ, ta có. 7!.7! cách xếp khác nhau

Vậy có tất cả 7! . 7! + 7! . 7! = 50803200 cách

Đáp án cần chọn là D

Câu 26:

17/06/2026

Hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ nằm về hai phía của đường thẳng x = 3 khi

A. c + 6b < -27a

B. a và c trái dấu

C. $\frac{c + 6 b}{3 a} < - 9$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $\Rightarrow y' = 3 a x^{2} + 2 b x + c$

Hai cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ nằm về hai phía của đường thẳng x = 3 khi $x_{1} < 3 < x_{2}$

$\Rightarrow 3 a f (3) < 0 \Leftrightarrow 3 a (27 a + 6 b + c) < 0 \Leftrightarrow a (6 b + c) < - 27 a^{2} \Leftrightarrow \frac{6 b + c}{3 a} < - 9$

Đáp án cần chọn là C

Câu 27:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 1) x - m + 2$ . Có bao nhiêu giá trị của m sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài đúng bằng 3

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng là C

Lời giải

$y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 1) x - m + 2$ $y' = x^{2} - 2 m x + 2 m - 1 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = 2 m - 1 \end{cases}$

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng

$3 \Leftrightarrow |x_{2} - x_{1}| = |2 m - 2| = 3 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \frac{5}{2} \\ m = - \frac{1}{2} \end{cases}$

*Phương pháp giải:

1.Tính đạo hàm y

2. Giải y'=0 tìm nghiệm

3.Giải tìm m

4. Kết luận

*Lý thuyết:

. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

- Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

Xem thêm

50 bài tập về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (có đáp án 2024) – Toán 12

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Câu 28:

17/06/2026

Cho hàm số $y = m x^{4} + (2 m - 1) x^{2} - 3 m + 1$ , m là tham số. Xác định điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt

A. m = 0

B. 0 < m < 1

C. m $\geq$ 1

D. m < 0

Xem đáp án

Hàm số

$y = m x^{4} + (2 m - 1) x^{2} - 3 m + 1$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi PT

$m^{2} + (2 m - 1) t - 3 m + 1 = 0$ có nghiệm x = 0 $\Rightarrow m = \frac{1}{3}$

Vậy chọn đáp án B

Câu 29:

17/06/2026

Hàm số $y = \frac{x \ln (x)}{\sin (x)}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng dạng $x = x_{0}$ với $x_{0} \in (- 2 π; 2 π)$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

$y = \frac{x \ln (x)}{\sin (x)}$ có điều kiện xác định $\{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq k π \end{cases}$

Đồ thị hàm số có thể có các tiệm cận đứng là x = 0; x = $π$

Ta có $\underset{x \to π}{\lim y = \infty}, \underset{x \to 0}{\lim y = \infty}$ vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng dạng $x = x_{0}$ với $x_{0} \in (- 2 π; 2 π)$

Đáp án cần chọn là B

Câu 30:

17/06/2026

Tổng các nghiệm phương trình

$\log_{2} (1 + \sqrt{x^{2} - 5 x + 5}) + \log_{3} (x^{2} - 5 x + 7) = 2$ là

A. 3

B. 5

C. 6

D. 2

Xem đáp án

$\log_{2} (1 + \sqrt{x^{2} - 5 x + 5}) + \log_{3} (x^{2} - 5 x + 7) = 2$

$\log_{2} (1 + \sqrt{1 + (x - 1) (x - 4)}) + \log_{3} (3 (x - 1) (x - 4)) = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 4 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 5 \end{cases}$

Đáp án cần chọn là B

Câu 31:

17/06/2026

Biết rằng thiết diện của vật thể với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x (0 \leq x \leq 3)$ là một tam giác đều có cạnh là $\sqrt{4 x + \sqrt{x}}$ . Khi đó thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0; x = 3 là

A. $\frac{9 + \sqrt{3}}{2} π$

B. $\frac{9 + \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{9 \sqrt{3} + 3}{2}$

D. $\frac{9 \sqrt{3} + 3}{2} π$

Xem đáp án

Cạnh của thiết diện là $a = \sqrt{4 x + \sqrt{x}}$ diện tích thiết diện

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 x + \sqrt{x})$

Vậy thể tích của hình cần tính là:

$V = \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{3}}{4} (4 x + \sqrt{x})$ = $\frac{9 \sqrt{3} + 3}{2}$

Đáp án cần chọn là C

Câu 32:

17/06/2026

Tại một nơi không gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 121,5m so với mặt đất đã được người lái cho nó chuyển động đi xuống theo phương thẳng đứng với vận tốc cho bởi $v = 5 t - \frac{t^{2}}{3} (m / p)$ . Nếu như vậy chiếc khí cầu sẽ tiếp đất với vận tốc bao nhiêu

A. 17 m/p

B. 18 m/p

C. 19 m/p

D. 20 m/p

Xem đáp án

$v = 5 t - \frac{t^{2}}{3}$

$\Rightarrow S \int_{0}^{t} (5 t - \frac{t^{2}}{3}) d t = \frac{5 t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{9}$

Tại thời điểm tiếp đất S = 121,5 $\Leftrightarrow \frac{5 t^{2}}{2} - \frac{t^{3}}{9} = 121, 5$

$\Leftrightarrow 2 t^{3} - 45 t^{2} + 2187 = 0 \Rightarrow t = 9$

Khi đó $v = 5.9 - \frac{9^{2}}{3} = 18 (m / p)$

Đáp án cần chọn là B

Câu 33:

17/06/2026

Biết

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{n} (x)}{\cos^{n} (x) + \sin^{n} (x)} d x (n \in ℕ *) = a \frac{(n + 1) π}{2} + \frac{π}{b} + c (a, b, c \in ℤ)$

khi đó a + b + c bằng

A. 4

B. 6

C. 9

D. 11

Xem đáp án

Xét $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{n} (x)}{\cos^{n} (x) + \sin^{n} (x)} d x$

đặt $x = \frac{π}{2} - t \Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{n} (x)}{\cos^{n} (x) + \sin^{n} (x)} d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{n} (x)}{\cos^{n} (x) + \sin^{n} (x)} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{n} (x)}{\cos^{n} (x) + \sin^{n} (x)} d x = \frac{π}{2} \Rightarrow I = \frac{π}{4}$

Vậy a = c = 0; b = 4 nên a + b + c = 4

Đáp án cần chọn là A

Câu 34:

17/06/2026

Cho số phức $z = \frac{m + 1}{1 + m (2 i - 1)} (m \in ℝ)$ Số các giá trị nguyên của m để $|z - i| < 1$ là

A. 0

B. 1

C. 4

D. Vô số

Xem đáp án

$z = \frac{m + 1}{1 + m (2 i - 1)}$ = $\frac{m + 1}{(1 - m) + 2 m i}$

$\Rightarrow |z - i| = |\frac{m + 1}{(1 - m) + 2 m i}| = |\frac{3 m + 1 - (1 - m) i}{(1 - m) + 2 m i}|$

$|z - 1| < 1 \Rightarrow {(3 m + 1)}^{2} < {(2 m)}^{2} \Leftrightarrow (m + 1) (5 m + 1) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < - \frac{1}{5}$

Vậy không tồn tại giá trị nguyên của m

Đáp án A

Câu 35:

17/06/2026

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Mặt phẳng đi qua A,B và trung điểm M của cạnh chia lăng trụ thành 2 phần có thể tích $V_{1}, V_{2} (V_{1} > V_{2})$ . Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ là

A. 4

B. 2

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Hình chóp MABC có cùng diện tích đáy với hình lăng trụ

Và có chiều cao bằng 2 lăng trụ nên

$V_{2} = \frac{1}{6} V_{ABC . A' B' C'} \Rightarrow V_{1} = \frac{5}{6} V_{ABC . A' B' C'} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = 5$

Đáp án cần chọn là C

Câu 36:

17/06/2026

Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất.

A. $r = \frac{R \sqrt{6}}{3}$

B. $\frac{2 R}{3}$

C. $r = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$

D. $r = \frac{R}{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

Chiều cao của hình trụ là $h = 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}$

$\Rightarrow V_{t p} = 2 {πr}^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}} = 4 π \sqrt{\frac{1}{4} r^{4} (R^{2} - r^{2})} \leq 2 π \sqrt{{[\frac{\frac{1}{2} r^{2} + \frac{1}{2} r^{2} + (R^{2} - r^{2})}{3}]}^{3}} = 2 π \frac{R^{3}}{3 \sqrt{3}}$

Thể tích lớn nhất đặt được khi

$\frac{1}{2} r^{2} = R^{2} - r^{2} \Rightarrow r = \frac{\sqrt{6}}{3} R$

Đáp án cần chọn là A

Câu 37:

17/06/2026

Cho đường thẳng $d_{m} \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = (1 - m) t, (t \in R) \\ z = - 2 + m t \end{cases}$ . Giá trị m

để khoảng cách từ gốc tọa độ tới $(d_{m})$ là lớn nhất là.

A. -4

B. -2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đường thẳng

$d_{m} \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = (1 - m) t, (t \in R) \\ z = - 2 + m t \end{cases}$ đi qua điểm cố định M ( 1;0;-2 )

Vậy khoảng cách từ O tới $(d_{m})$ là $h < O M$ để khoảng cách này đạt giá trị lớn nhất bằng OM

$\Rightarrow O M (1; 0; - 2) ⊥ u (2; 1; - m; m) \Leftrightarrow 2 - 2 m = 0 \Rightarrow m = 1$

Đáp án cần chọn là C

Câu 38:

17/06/2026

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 1;2;3 ) và B ( 3;4;1 ) . Đặt $P = |\vec{M A} + \overset{\leftrightarrow}{M B}|$ trong đó $M (x_{0}, y_{0} z_{0})$ là một điểm nằm trên (Oxy) thỏa mãn $P_{m i n}$ . Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0} =$

A. 4

B. $\frac{7}{2}$

C. 5

D. 1

Xem đáp án

$P = |\vec{M A} + \overset{\leftrightarrow}{M B}|$ = 2 $|\vec{M I}|$ với I ( 2;3;2 ) là trung điểm của AB

Vậy $P_{m i n}$ ứng với M là hình chiếu của I nên ( Oxy ) nên M ( 2;3;0 )

Vậy $x_{0} + y_{0} + z_{0} =$ 5

Đáp án cần chọn là C

Câu 39:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $∆ = \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 1 = 0. Mặt phẳng (Q) chưa $∆$ và tạo với (P) một góc $α$ nhỏ nhất, khi đó góc $α$ gần với giá trị nào nhất sau đây?

A. $6^{o}$

B. $8^{o}$

C. $10^{o}$

D. $5^{o}$

Xem đáp án

Gọi n ( a,b,c ) là VTPT của (Q)

$\Rightarrow n (a, b, c) . u (2; 1; - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 a + b - c = 0 \Rightarrow c = 2 a + b$

Khi đó góc $α$ giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) nhỏ nhất khi lớn nhất với

là VTPT của ta có

$\cos (α) = \frac{|\vec{n . n'}|}{|\vec{n}| . |\vec{n'}|} = \frac{|2 z - b + 2 c|}{3 \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|6 a + b|}{3 \sqrt{5 a^{2} + 4 a b + 2 b^{2}}}$

$\Rightarrow P^{2} = \frac{36 a^{2} + 12 a b + b^{2}}{9 (5 a^{2} + 4 a + 2 b^{2})} = \frac{36 t^{2} + 12 t + 1}{9 (5 a^{2} + 4 a + 2 b^{2})}$

Xét hàm số

$f (t) = \frac{36 t^{2} + 12 t + 1}{9 (5 a^{2} + 4 a + 2 b^{2})} \Rightarrow f' (t) = \frac{2 (42 t^{2} + 67 t + 10)}{9 (5 a^{2} + 4 a + 2 b^{2})} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = \frac{- 1}{6} \\ t = \frac{- 10}{7} \end{cases}$

Vậy GTLN của $P = \sqrt{f (\frac{- 10}{7})} = \sqrt{\frac{53}{54}} = 0, 99$

$\Rightarrow α = 8^{o}$

Đáp án cần chọn là B

Câu 40:

17/06/2026

Dãy số $\{\begin{cases} u_{1} = 2; u_{2} = 3 \\ u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{n - 1}} \forall n \geq 2 \end{cases}$ là dãy số

A. Tăng, bị chặn

B. Giảm, bị chặn

C. Tăng, chặn dưới

D. Giảm, chặn trên

Xem đáp án

Ta có

$u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{n - 1}} \Rightarrow u_{3} = \sqrt{u_{2}} + \sqrt{u_{1}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} > 3 = u_{2}$

$\Rightarrow u_{4} = \sqrt{u_{3}} + \sqrt{u_{2}} > \sqrt{u_{2}} + \sqrt{u_{1}} = u_{3}$

Theo nguyên lý quy nạp ta có Un là dãy tăng

$u_{n + 1} = \sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{n - 1}} < 2 \sqrt{u_{n + 1}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}}^{2} < 4 u_{n + 1} \Leftrightarrow 0 < u_{n + 1} < 4$

Vậy $u_{n}$ tăng và bị chặn.

Đáp án cần chọn là A

Câu 41:

17/06/2026

Một công ty bất động sản có 30 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 3 triệu đồng một tháng thì căn hộ nào cũng có người thuê. Nếu cứ tăng giá cho thuê lên 300.000 một tháng thì sẽ có 1 căn hộ không được thuê. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

A. 3 triệu 300 nghìn

B. 3 triệu 900 nghìn

C. Đáp án khác

D. 4 triệu 800 nghìn

Xem đáp án

Gọi x là số nhà không có khách thuê thì giá thuê một căn nhà là 3 + 0,3x

Số tiền mà công ty thu được là M

$M = (30 - x) (3 + 0, 3 x) = - 0, 3 x^{2} + 6 x + 90 = - 0, 3 {(x - 10)}^{2} + 120 \Rightarrow M = 120$

Vậy số tiên công ty có thể thu về lớn nhất là 120 triệu với giá cho thuê 6 triệu một căn.

Đáp án cần chọn là C

Câu 42:

17/06/2026

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x - 2) e^{2 x}$ , trục tung và trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox có dạng $\frac{π (e^{2} + b)}{c}; (a; b; c \in Z)$ . Khi đó a + b + c bằng

A. 2

B. 56

C. -1

D. -24

Xem đáp án

Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:

$V = π \int_{0}^{2} {(x - 2)}^{2} e^{4 x} dx = π . l$

Đặt

$\{\begin{cases} {(x - 2)}^{2} = u \\ e^{4 x} d x = d v \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 (x - 2) d x \\ v = \frac{1}{4} e^{4 x} \end{cases}$

$\Rightarrow t = \frac{1}{4} e^{4 x} {(x - 2)}^{2}_{0}^{2} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (x - 2) e^{4 x} d x = - 1 - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (x - 2) e^{4 x}$

Đặt

$\{\begin{cases} {(x - 2)}^{2} = u \\ e^{4 x} d x = d v \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{1}{4} e^{4 x} \end{cases} \Rightarrow I = - 1 - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} e^{4 x} {(x - 2)}_{0}^{2}) - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{4 x} d x \Rightarrow I = - 1 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{e^{8}}{16} + \frac{1}{16}) = \frac{e^{8} - 41}{32} \Rightarrow a + b + c = - 1$

Đáp án cần chọn là C

Câu 43:

17/06/2026

Cho 3 số phức $z; z_{1}; z_{2}$ thỏa mãn $|5 z - 1| = |5 + i z|$ và $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Giá trị của $P = |z_{1} + z_{2}|$ là

A. 1

B. $\sqrt{5}$

C. $\sqrt{3}$

D. Đáp án khác

Xem đáp án

Đặt z=x+yi(x,y)

Ta có

$|5 z - i| = |5 + i z| \Leftrightarrow 25 x^{2} + {(5 y - 1)}^{2} = {(5 y - 1)}^{2} + x^{2} \Leftrightarrow 24 x^{2} + 24 y^{2} = 24 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \Leftrightarrow |z| = 1$

$z_{1}$ và $z_{2}$ được biểu diễn là 2 điểm A và B là 2 điểm bất kỳ như hình vẽ sao cho $|z_{1} - z_{2}| = 1$ => AB =1

Ta thấy $z_{1} + z_{2}$ ứng với điểm M sao cho

$\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}$

Dễ tính được OM theo quy tắc hình bình hành

=> $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B}$ = $\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là C

Câu 44:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = a, $B C = a \sqrt{3}$ , SA = a. Một mặt phẳng (α) qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.

A. $V_{S . A H K} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{20}$

B. $V_{S . A H K} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{30}$

C. $V_{S . A H K} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{60}$

D. $V_{S . A H K} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{90}$

Xem đáp án

Ta có:

$S B = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = a \sqrt{2} A C^{2} = a^{2} + 3 a^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow S C = \sqrt{a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{5} S K = \frac{S A^{2}}{S B} = \frac{a^{2}}{a \sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} S H = \frac{S A^{2}}{S C} = \frac{a^{2}}{a \sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}} \frac{V_{S . A H K}}{V_{S . A B C}} = \frac{S K . S H}{S B . S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \Rightarrow V_{S . A H K} = \frac{1}{10} V_{S . A B C} = \frac{1}{60} S A . B A . B C = \frac{1}{60} \sqrt{3} a^{3}$

Đáp án cần chọn là C

Câu 45:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, $A D = B C = \frac{a \sqrt{13}}{4}$ , AB = 2a, $C D = \frac{3 a}{2}$ , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là

A. $\frac{a \sqrt{13}}{7}$

B. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

C. $\frac{2 a \sqrt{13}}{7}$

D. $\frac{a \sqrt{21}}{7}$

Xem đáp án

Gọi M; E là trung điểm của AI và CD

Kẻ $S H ⊥ C D$ do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng(ABCD) nên $S H ⊥ (A B C D)$ . Mặt khác SA = SI

$\Rightarrow S M ⊥ A I \Rightarrow A I ⊥ (S H M) \Rightarrow H K ⊥ (S A I)$

mà CD . Song song với $(S A B) \Rightarrow H K$ là khoảng cách cần tìm. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F

$\Rightarrow E F = \frac{a \sqrt{13}}{4}; F I = \frac{a}{4} \Rightarrow H M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow H B = a \sqrt{3} S H = H B . \tan (30^{o}) = a \sqrt{3} . \frac{1}{\sqrt{3}} = a$

Ta có

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H M^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{7}{3 a^{2}} \Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{21}}{7}$

Đáp án cần chọn là D

Câu 46:

17/06/2026

Trong hệ trục tọa độ cho 4 điểm A ( 1;1;-2 ), B ( 0;3;-2 ) ,C ( 0;0;1 ),I ( 0;1;0 ). D là một điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm I, bán kính bằng 3. Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) có giá trị lớn nhất bằng.

A. 1

B. $\sqrt{6}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. 2

Xem đáp án

Mặt phẳng ( ABC ) có VTPT

$\vec{n} = [\vec{C A}, \vec{C B}] = [(1; 1; - 3), (0; 3; - 3)] = 3 (2; 1; 1)$

Suy ra PT ( ABC ) : 2x + y + z -1 = 0

Dễ thấy $I \in (A B C)$ nên khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) có giá trị lớn nhất bằng bán kính và bằng 3

Đáp án cần chọn là D

Câu 47:

17/06/2026

Một nhóm sinh viên có 4 nam 2 nữ ngồi và 9 ghế hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền nhau và giữa 2 nhóm có ít nhất 2 ghế?

A. 576

B. 672

C. 288

D. 144

Xem đáp án

Xét 2 khả năng:

+) Trường hợp ở giữa có 3 ghế có thể xếp nam ở bên phải hoặc trái nên số cách xếp

là 2 . 4! . 2! = 96

+) Trường hợp ở giữa có 2 ghế thì ghế ngoài cùng bên phải hoặc bên trái sẽ trống. Tương ứng số cách sắp xếp là 2 . 2 . 4! . 2! = 192

Vậy số cách sắp xếp là 192 + 96 = 288

Đáp án cần chọn là C

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3