45 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết (Đề số 1)

Câu 1:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{3}{\sqrt{x - 3}}$ có đồ thị ( C ) . Mệnh đề đúng nhất trong các mệnh đề sau.

A. ( C ) có một tiệm cận đứng x = 3, không có tiệm cận ngang

B. ( C ) có một tiệm cận ngang y = 0, có tiệm cận đứng là x = $\sqrt{3}$

C. ( C ) có một tiệm cận đứng x = 3 và một tiệm cận ngang y = 0

D. ( C ) không có tiệm cận

Xem đáp án

Có: $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{3}{\sqrt{x - 3}} = + \infty \Rightarrow x = 3$ là tiệm cận ngang

$\lim_{x \to 3^{+}} \frac{3}{\sqrt{x - 3}} = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận đứng

Đáp án cần chọn là C

Câu 2:

17/06/2026

Khoảng đồng biến lớn nhất của hàm số $y = x^{3} + 2 x$ là

A. $(- \infty; - 2)$

B. $(0; + \infty)$

C. (-2 ; 0)

D. $R$

Xem đáp án

Có $y' = 3 x^{2} + 2 > 0 \forall x \in B \Rightarrow$ Khoảng đồng biến lớn nhất của hàm số $R$

Đáp án cần chọn là D

Câu 3:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = a x^{4} + b x + c$ .

A. Tồn tại đồ thị hàm số không có cực trị

B. Hàm số luôn có 2 điểm cực trị.

C. Hàm số luôn có 3 điểm cực trị.

D. Hàm số luôn có ít nhất 1 điểm cực trị.

Xem đáp án

Hàm bậc 4 dạng trùng phương luôn có 1 cực trị hoặc 3 cực trị nên chọn đáp án D

Đáp án cần chọn là D

Câu 4:

17/06/2026

Chọn khẳng định sai?

A. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và $y = a^{- x}$ đối xứng nhau qua trục Oy

B. Đồ thị hàm số $y = a^{- x}$ luôn nằm dưới trục Oy

C. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ luôn luôn cắt Oy tại (0;1)

D. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ luôn luôn nằm phía trên Ox

Xem đáp án

Hàm mũ $y = a^{- x}$ luôn có giá trị dương với mọi x nên khẳng định B sai

Đáp án cần chọn là B

Câu 5:

17/06/2026

Mọi số thực dương a, b. Mệnh đề nào đúng?

A. $\log_{\frac{3}{4}} a < \log_{\frac{3}{4}} b \Leftrightarrow a > b$

B. $\log_{2} (a^{2} + b^{2}) = 2 \log (a + b)$

C. $\log_{a^{2} + 1} a \geq \log_{a^{2} + 1} b$

D. $\log_{2} a^{2} = \frac{1}{2} \log_{2} a$

Xem đáp án

Vì $\frac{3}{4} < 1$ nên $\log_{\frac{3}{4}} a < \log_{\frac{3}{4}} b \Leftrightarrow a > b$

Đáp án cần chọn là A

Câu 6:

17/06/2026

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos5x

A. $\int f (x) d x = - \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

B. $\int f (x) d x = 5 \sin (5 x) + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

D. $\int f (x) d x = - 5 \sin (5 x) + C$

Xem đáp án

$\int f (x) d x = \frac{1}{5} \int \cos 5 x d x (5 x) = \frac{1}{5} \sin (5 x) + C$

Đáp án cần chọn là C

Câu 7:

17/06/2026

Cho hàm số g(x) có đạo hàm trên đoạn [ -1;1 ] . Có g(-1) = 3 và g(1) =1. Tính $I = \int_{- 1}^{1} g' (x) d x$

A. -2

B. 2

C. 4

D. $- \frac{3}{2}$

Xem đáp án

$I = \int_{- 1}^{1} g' (x) d x = {g (x)}^{1}_{- 1} = g (1) - g (- 1) = 2$

Đáp án cần chọn là B

Câu 8:

17/06/2026

Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức z = 10 + i là

A. $\bar{z}$ = 10 - i

B. $\bar{z}$ = 10 + i

C. $\bar{z}$ = 10 + 3i

D. $\bar{z}$ = 2 - i

Xem đáp án

Ta có z = 10 + i $\Rightarrow$ $\bar{z}$ = 10 - i

Đáp án cần chọn là B

Câu 9:

17/06/2026

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 1;-2;3 ) và B ( 5;4;7 ) . Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm là

A. I ( 3;1;5 )

B. I ( 3;-1;5)

C. I ( -1;-3;-5 )

D. I ( 3;1;-5 )

Xem đáp án

Gọi I là tâm mặt cầu nên I là trung điểm AB nên (S) có tâm I(3;1;5)

Đáp án cần chọn là A

Câu 10:

17/06/2026

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng.

$d : \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 3}{1}$ Phương trình tham số của đường thẳng d là

A. $d : \{\begin{cases} x = - 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$

B. $d : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = - 3 + t \end{cases}$

C. $d : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 1 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$

D. $d : \{\begin{cases} x = - 3 - 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 3 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Ta có phương trình tham số của: $d : \{\begin{cases} x = - 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$

Đáp án cần chọn là A

Câu 11:

17/06/2026

Cho (S) là mặt cầu tâm $I (3; 0; 0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 2y - z + 3 = 0 . Khi đó, bán kính của (S) là.

A. $\sqrt{6}$

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Ta có bán kính bằng $d (I, (P)) = \frac{9}{\sqrt{9}} = 3$

Đáp án cần chọn là D

Câu 12:

17/06/2026

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và EG?

A. $90^{o}$

B. $60^{o}$

C. $45^{o}$

D. $120^{o}$

Xem đáp án

Ta có. EG//AC (do ACGE là hình chữ nhật)

$\Rightarrow (A B, E G) = (A B, A C) = B A C = 45^{o}$

Đáp án cần chọn là C

Câu 13:

17/06/2026

Gieo hai con xúc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích hai số xuất hiện trên hai mặt. Không gian mẫu là bao nhiêu phần tử

A. 12

B. 20

C. 24

D. 36

Xem đáp án

Không gian mẫu cần tính là $Ω = 6.6 = 36$

Đáp án cần chọn là D

Câu 14:

17/06/2026

Giá trị của $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ bằng

A. 0

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. -2

Xem đáp án

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

= $\lim_{x \to 1} \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 2)}{x^{2} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) (x - 2)}{x + 1} = 0$

Đáp án cần chọn là A

Câu 15:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 1 điểm

B. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm

C. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm

D. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm

Xem đáp án

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.

Đáp án cần chọn là D

Câu 16:

17/06/2026

Đường thẳng qua hai cực trị của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - x + 2}{1 + x}$ song song với

A. 2x + y - 1 =0

B. x - 2y - 1 = 0

C. 2x - y - 3 = 0

D. x + 2y - 3 = 0

Xem đáp án

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(1 + x)}^{2}} \Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 3 \to y = - 7 \\ x = 1 \to y = 1 \end{cases}$

Suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là:

$\frac{x + 3}{1 + 3} = \frac{y + 7}{1 + 7} \Leftrightarrow 2 x - y - 1 = 0$

Đáp án cần chọn là A

Câu 17:

17/06/2026

Cho đồ thị $(C) y = x^{3} - x + 3$ Tiếp tuyến tại N(1;3) cắt (C) tại điểm thứ 2 là $M (M ≢ N)$ Tọa độ M là

A. M(2;9)

B. M(-2;-3)

C. M(-1;3)

D. M(0;3)

Xem đáp án

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 1 \Rightarrow y' (1) = 2 \Rightarrow$ PTTT tại N(1;3) là

y = 2 (x - 1 ) + 3 = 2x + 1

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với tiếp tuyến ta có

$x^{3} - x + 3$ = 2x + 1 $\Leftrightarrow$ x = -2, x = 1

Vậy tọa M (-2;-3)

Đáp án cần chọn là B

Câu 18:

17/06/2026

Nếu n là số nguyên dương; b, c là số thực dương và a > 1 thì $\log_{\frac{1}{a}} (\frac{\sqrt[a]{b}}{c^{2}})$

A. $\frac{1}{n} \log_{a} b - \frac{1}{2} \log_{a} c$

B. $n \log_{a} b - 2 \log_{a} c$

C. $\frac{1}{n} \log_{a} b - 2 \log_{a} c$

D. $- \frac{1}{n} \log_{a} b + 2 \log_{a} c$

Xem đáp án

$\log_{\frac{1}{a}} (\frac{\sqrt[a]{b}}{c^{2}})$ = $- \log_{a} (\frac{\sqrt[a]{b}}{c^{2}})$

= $- \frac{1}{n} \log_{a} b + 2 \log_{a} c$

Đáp án cần chọn là D

Câu 19:

17/06/2026

Với a > 0, a $≢$ 1 thì phương trình $\log_{a} (3 x - 1) = 1$ có nghiệm là

A. x = 1

B. $x = \frac{a}{3}$

C. $x = \frac{2 a}{3}$

D. $x = \frac{a + 1}{3}$

Xem đáp án

Với a > 0, a $≢$ 1 ta có $\log_{a} (3 x - 1) = 1$ $\Leftrightarrow$ 3x - a = a

$\Leftrightarrow$ $x = \frac{2 a}{3}$

Đáp án cần chọn là C

Câu 20:

17/06/2026

Giá trị của a để $\int_{0}^{π} (1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{4}) d x = \frac{16}{15}$ là

A. a = 1

B. a = 2

C. a = 5

D. a = 4

Xem đáp án

Dùng casio nhập $\int_{0}^{π} (1 - 2 \sin^{2} \frac{x}{4}) d x = \frac{16}{15}$ $\overset{C A L C}{\to}$

A =.....X=1 $\Rightarrow$ A = 5

Đáp án cần chọn là C

Câu 21:

17/06/2026

Cho phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Nếu phương trình nhận z = 2 + i là một nghiệm thì $a^{2} + b^{2}$ có giá trị bằng

A. 36

B. 28

C. 41

D. 48

Xem đáp án

z = 2 + i là nghiệm thì z = 2 - i cũng là nghiệm

Vậy ( z - 2 - i )(z - 2 + i ) = $z^{2} - 4 z + 5$

$\Rightarrow$ a = 4, b = 5 $\Rightarrow a^{2} + b^{2}$ = 16 + 25 = 41

Đáp án cần chọn là C

Câu 22:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2 a$ . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ACD.

A. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Ta có tam giác ACD vuông cân tại C và CA = CD = 2a

$\Rightarrow S_{A A C D} = 4 a^{2}$ . Gọi H là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

$\Rightarrow S H ⊥ (A B C D); S H = a \sqrt{3} . V a y S_{S A C D} =$ $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là A

Câu 23:

17/06/2026

Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng.

A. $60^{o}$

B. $30^{o}$

C. $90^{o}$

D. $45^{o}$

Xem đáp án

Ta có.

$\{\begin{cases} C D ⊥ A G \\ C D ⊥ B G \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (A B G) \Rightarrow C D ⊥ A B$

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng $90^{o}$

Đáp an cần chọn là C

Câu 24:

17/06/2026

Có ba chiếc hộp. Hộp A đựng 3 bi xanh và 5 bi vàng; Hộp B đựng 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Xác suất để lấy được bi xanh là.

A. $\frac{232}{932}$

B. $\frac{55}{96}$

C. $\frac{34}{175}$

D. $\frac{13}{40}$

Xem đáp án

Lấy ngẫu nhiên một hộp trong 3 hộp nên xác suất là $\frac{1}{3}$

TH1. Lấy được hộp A và lấy 1 bi xanh trong hộp A, ta được xác suất là $P_{A} = \frac{3}{8}$

TH2. Lấy được hộp B và lấy 1 bi xanh trong hộp B, ta được xác suất là $P_{B} = \frac{3}{5}$

Vậy xác suất cần tính là

$P = \frac{1}{3} (P_{A} + P_{B}) = \frac{1}{3} (\frac{3}{8} + \frac{3}{5}) = \frac{13}{40}$

Đáp án cần chọn là D

Câu 25:

17/06/2026

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5?

A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

Xem đáp án

Trường hợp 1. Số đó có dạng $a_{1} a_{2} 0$ chọn $a_{1} a_{2}$ có $A_{5}^{2}$ cách nên có $A_{5}^{2}$ số thỏa mãn.

Trường hợp 2. Số đó có dạng $a_{1} a_{2} 5$ chọn $a_{1}$ có 4 cách, chọn $a_{2}$ có 4 cách nên có 4.4 số thỏa mãn.

Do đó có $A_{5}^{2} + 4.4 = 36$ số thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là C

Câu 26:

17/06/2026

Cho hàm $y = \frac{x^{2} = m x + 2}{x - 1}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m \in [0; 2019]$ thỏa mãn hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ , $(1; + \infty)$ biết m

A. 672

B. 673

C. 674

D. 0

Xem đáp án

$y = \frac{x^{2} = m x + 2}{x - 1}$ = $y' = \frac{(2 x - m) (x - 1) - (x^{2} - m x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

$= \frac{x^{2} - 2 x + m - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì

$∆ = 1 - m + 2 = 3 - m \leq 0 \Rightarrow m \geq 3$

Như vậy số các giá trị m thỏa mãn ĐK là

$\frac{2019 - 3}{3} + 1 = 673$

Đáp án cần chọn là B

Câu 27:

17/06/2026

Giá trị m để điểm A(3;5) nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

$y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m + 6) x + 1$

A. m = 4

B. $m = \{\begin{cases} m = 4 \\ m = \frac{- 8}{5} \end{cases}$

C. $m = \frac{- 8}{5}$

D. m = 1

Xem đáp án

$y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m + 6) x + 1$

$\Rightarrow y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m + 6) = 3 (x^{2} - 2 m x + m + 6)$

Hàm số có hai cực trị

$\Leftrightarrow ∆ = m^{2} - m - 6 > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 3 \\ m < - 2 \end{cases}$

$y = (\frac{1}{3} x - \frac{1}{3} m) y' + 2 (m + 6 - m^{2}) x + 1 - m (m + 6)$

PTDT đi qua 2 cực trị là

$y = 2 (m + 6 - m^{2}) x + 1 - m (m + 6)$

Đường thẳng này đi qua (3;5)

$5 = 6 (m + 6 - m^{2}) + 1 + m^{2} + 6 m \Rightarrow 5 m^{2} - 12 m - 32 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} m = 4 \\ m = \frac{- 8}{5} (l) \end{cases}$

Vậy m = 4

Đáp án cần chọn là A

Câu 28:

17/06/2026

Số giá trị nguyên của m để phương trình $|x^{4} - 2 x^{2} - 1|$ có 6 nghiệm phân biệt

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

Xem đáp án

Xét hàm số

$y = x^{4} - 2 x^{2} - 1 \Rightarrow y' = 4 x^{3} - 4 x = 4 x (x - 1) (x + 1) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{cases}$

Ta có BBT như sau:

PT $|x^{4} - 2 x^{2} - 1| = \log_{4} m$ có 6 nghiệm

$\Leftrightarrow 1 < \log_{4} (m) < 2 \Leftrightarrow 4 < m < 16$

Vậy m có 11 giá trị nguyên.

Đáp án cần chọn là B

Câu 29:

17/06/2026

Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn $\log_{x^{2} + y^{2} + 2} (4 x + 4 y - 4) \geq 1$ . Tìm m nhỏ nhất để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 2 - m = 0$ .

A. ${(\sqrt{10} - \sqrt{2})}^{2}$

B. $\sqrt{10} + \sqrt{2}$

C. ${(\sqrt{10} + \sqrt{2})}^{2}$

D. $\sqrt{10} - \sqrt{2}$

Xem đáp án

$\log_{x^{2} + y^{2} + 2} (4 x + 4 y - 4) \geq 1$

$\Leftrightarrow 4 x + 4 y - 4 \geq x^{2} + y^{2} + 2 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \leq 2$

Đây là tập hợp tất cả các điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(2;2) bán kính $ℝ' = \sqrt{m}$ .

Ta có $I I' = \sqrt{10}$ . m nhỏ nhất để tồn tại duy nhất cặp (x;y) sao cho $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 2 - m = 0$ thì hai đường tròn nói trên tiếp xúc ngoài

$\Rightarrow R + R' = I I' \Leftrightarrow \sqrt{m} + \sqrt{2} = \sqrt{10} \Leftrightarrow m = {(\sqrt{10} - \sqrt{2})}^{2}$

Đáp án cần chọn là B

Câu 30:

17/06/2026

Cho $y = f (x + \frac{π}{2})$ là hàm chẵn trên $[\frac{- π}{2}; \frac{π}{2}]$ và $f (x) + f (x + \frac{π}{2}) = \sin (x) + \cos (x)$ . Tính $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

A. -1

B. 1

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Từ $f (x) + f (x + \frac{π}{2}) = \sin (x) + \cos (x)$ cho $x = \frac{π}{2}, x = \frac{- π}{2}$ ta có

$\{\begin{cases} f (\frac{π}{2}) + f (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2}) \\ f (\frac{- π}{2}) + f (\frac{π}{2} - \frac{π}{2}) = \sin (\frac{- π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2}) \end{cases}$

Chú ý do $y = f (x + \frac{π}{2})$ là hàm chẵn trên $[\frac{- π}{2}; \frac{π}{2}]$ nên $f (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})$ = $f (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

$\Rightarrow f (\frac{π}{2}) - f (\frac{- π}{2}) = \sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2}) \Rightarrow f (x) = \sin (x)$

Vậy $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ = $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) = 1$

Đáp án cần chọn là B

Câu 31:

17/06/2026

Gọi (H) và (K) là hình phẳng giới hạn bởi $(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ và đường x = k ( k > 0 ). Để tỉ số thể tích khối tròn xoay tạo bởi khi quay (H) và (K) quanh Ox bằng $\frac{V_{H}}{V_{K}} = \frac{5}{27}$ thì k bằng

A. k = -4

B. k = -3

C. k = -2

D. k = -1

Xem đáp án

$(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{3}{4} \sqrt{16 - x^{2}}$

Đường thằng x = k chia elip thành hai phần (H) và (K) khi đó

$V_{H} = π \int_{- 4}^{k} \frac{3}{14} (16 - x^{2}) dx = \frac{1}{4} π {(48 x - x^{3})}_{- 4}^{k} = \frac{1}{4} π (48 k - k^{3} + 128)$

$\frac{V_{H}}{V_{K}} = \frac{48 k - k^{3} + 128}{128 - 48 k + k^{3}} = \frac{5}{27} \Rightarrow \frac{48 k - k^{3} + 128}{256} = \frac{5}{32} \Rightarrow k^{3} - 48 k - 88 = 0$

với k nguyên âm k = -2

Đáp án cần chọn là C

Câu 32:

17/06/2026

Biết rằng $\int_{0}^{\ln 2} (x + \frac{1}{2 e^{x} + 1}) d x = \frac{1}{2} \ln^{a} 2 + b \ln 2 + c \ln \frac{5}{3}$

Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S = a + b + c bằng.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

$\int_{0}^{\ln 2} (x + \frac{1}{2 e^{x} + 1}) d x = \int_{0}^{\ln 2} x d x + \int_{0}^{\ln 2} \frac{1}{2 e^{x} + 1} d x = {\frac{x^{2}}{2}}_{0}^{\ln 2} + \int_{0}^{\ln 2} \frac{1}{(2 e^{x} + 1) e^{x}} d e^{x}$

= $\frac{1}{2} \ln^{2} 2 + \int_{0}^{\ln 2} (\frac{1}{e^{x}} - \frac{2}{(2 e^{x} + 1)}) d e^{x} = \frac{1}{2} \ln^{2} 2 + {(\ln e^{x} - \ln (2 e^{x} + 1))}_{0}^{\ln 2} = \frac{1}{2} \ln^{2} 2 + \ln 2 - \ln \frac{5}{3}$

Vậy a + b + c = 2

Đáp án cần chọn là A

Câu 33:

17/06/2026

Cho thỏa mãn $z \in ℂ$ thỏa mãn $(2 + i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} + 1 - 2 i$ . Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = ( 3 - 4i )z - 1 +2i là đường tròn I, bán kính R. Khi đó

A. I ( -1;-2 ) R = $\sqrt{5}$

B. I ( 1;2 ), R = $\sqrt{5}$

C. I ( -1;2 ), R = 5

D. I ( 1;-2 ), R= 5

Xem đáp án

$(2 + i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} + 1 - 2 i$

$\Leftrightarrow (2 |z| - 1) + (|z| + 2) i = \frac{\sqrt{10}}{{|z|}^{2}} z$

Bình phương modun của số thức bên trái và bên phải bằng nhau ta có:

$\Leftrightarrow (2 |z| - 1) + (|z| + 2) i = \frac{\sqrt{10}}{{|z|}^{2}} z$

= $\frac{10}{{|z|}^{2}} \Leftrightarrow 5 {|z|}^{2} + 5 = \frac{10}{{|z|}^{2}} \Rightarrow |z| = 1$

Đặt w = x + yi $\Rightarrow$ w = (3 - 4i )z+2i

$\Leftrightarrow$ (x + 1 ) + ( y - 2 )i = ( 3 - 4i )z

$\Rightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

Vậy I ( -1;2 ), R = 5

Đáp án cần chọn là C

Câu 34:

17/06/2026

Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc. Tam giác ABC cân tại A, có AB = 2a, $A C D = 60^{o}$ . M là trung điểm AB, $N \in B C$ sao cho BN = 2NC. Khi đó khoảng cách từ P đến mặt phẳng (BCD) bằng (với P là giao điểm MN và AC)

A. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{a \sqrt{21}}{7}$

C. $\frac{a \sqrt{7}}{7}$

D. $\frac{2 a \sqrt{7}}{7}$

Xem đáp án

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz. Có O = A, AB = Ox, AC = Oy, AD = Oz, AD = $2 α \tan (60^{o}) = 2 a \sqrt{3}$ , $N H = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) B C = \frac{1}{6} B C = \frac{1}{2} N C$

Từ M kẻ MH song song với AC ta có MH = a; CP = 2MH = 2a $\Rightarrow$ AP = 4a

PT của mặt phẳng (BCD) là $\frac{x}{2 a} + \frac{y}{2 a} + \frac{z}{2 \sqrt{3} a} = 1$ . Vậy khoảng cách từ P ( 0;4a;0 ) đến (BCD) là:

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4 a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} + \frac{1}{12 a^{2}}}} = a \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{7}} = \frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

Đáp án cần chọn là A

Câu 35:

17/06/2026

Cho hình thanh cân ABCD, AD//BC có AB = BC = CD = a; AD = 2a. Thể tích của khối tròn xoay thu được khi xoay hình thang theo trục AC là.

A. $\frac{{πa}^{3} \sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{{πa}^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{9}$

Xem đáp án

Chọn hệ trục Oxy trong đó A = O, Ox = AC. Hình thang thỏa mãn bài toán có $A C ⊥ C D$ , góc đáy bằng $60^{O}$ , $A C = A D . \sin (60^{o}) = a \sqrt{3} \Rightarrow D (a \sqrt{3}; a)$ . PT đường thẳng AD là $y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$

Vậy thể tích cần tính

$V = π \int_{0}^{a \sqrt{3}} \frac{1}{3} x^{2} dx = {\frac{π}{9} x^{3}}_{0}^{a \sqrt{3}} =$ $\frac{{πa}^{3} \sqrt{3}}{3}$

Đáp án cần chọn là B

Câu 36:

17/06/2026

Cho 2 đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 2 - t \end{cases} v à d_{2} \{\begin{cases} x = 3 + t' \\ y = 2 + t' \\ z = 5 \end{cases}$

Phương trình đường vuông góc chung ∆ của $d_{1}$ , $d_{2}$ là.

A. $∆ : \{\begin{cases} x = 1 + t'' \\ y = 2 - t'' \\ z = 3 + 2 t'' \end{cases}$

B. $∆ : \{\begin{cases} x = 1 - t'' \\ y = 2 - t'' \\ z = 3 + 2 t'' \end{cases}$

C. $∆ : \{\begin{cases} x = - 1 + t'' \\ y = 2 - t'' \\ z = 3 + 2 t'' \end{cases}$

D. $∆ : \{\begin{cases} x = 1 + t'' \\ y = - 2 - t'' \\ z = - 3 + 2 t'' \end{cases}$

Xem đáp án

$∆$ giao với $d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 2 - t \end{cases}$

là A ( 2 + t; 1 - t; 2 - t )

với $d_{2} \{\begin{cases} x = 3 + t' \\ y = 2 + t' \\ z = 5 \end{cases}$

là B ( 3 + t'; 2 + t'; 5 )

Khi đó AB ( 1 + t' - t; 1 + t' + t; 3 + t )

Ta có:

$\{\begin{cases} \vec{A B} ⊥ u_{1} (1; - 1; - 1) \\ \vec{A B} ⊥ u_{2} (1; 1; 0) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 + t' - t - 1 - t' - t - 3 - t = 0 \\ 1 + t' - t + 1 + t' + t = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t' = - 1 \end{cases} \Rightarrow A (1; 2; 3), \vec{A B} (1; - 1; 2)$

Vậy PT $∆$ là : $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + t'' \\ y = 2 - t'' \\ z = 3 + 2 t'' \end{cases}$

Đáp án cần chọn là A

Câu 37:

17/06/2026

Cho mặt phẳng (P): x + y - z +1 = 0 và hai điểm A ( 2;2;2 ), B ( 4;4;0 ). Gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm A, B sao cho $\forall M \in (S) \Rightarrow \{\begin{cases} d (M; (P)) \geq d (A, (P)) \\ d (M; (P)) \leq d (B, (P)) \end{cases}$

Khi đó phương trình (S) là.

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$

Xem đáp án

Do AB( 2;2;-2 ) $⊥$ (P): 2x - y - z + 3 = 0 nên mặt cầu (S) cần xác định có tâm là trung điểm I( 3;3;1 ) của AB và bán kính

$R = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{3}$

Vậy PT (S): ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3$

Đáp án cần chọn là A

Câu 38:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A ( 1;-1;2 ) , song song với (P): 2x - y - z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng $∆ : \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z}{2}$ một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là.

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{7}$

B. $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z + 2}{7}$

C. $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{7}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{- 7}$

Xem đáp án

Đường thẳng d đi qua A ( 1;-1;2 ) có vec tơ chỉ phương $\vec{u} (a; b; c)$ do d song song (P): 2x - y - z + 3 = 0 nên $\vec{u} (a; b; c)$ $⊥$ n ( 2;-1;1 )

$\Leftrightarrow \vec{u} . n = 0$ $\Leftrightarrow$ 2a = b + c

Đến đây ta kiểm tra chỉ có đáp án A là đường thẳng có véc tơ chỉ phương thỏa mãn (1) nên ta chọn đáp án A

Đáp án cần chọn là A

Câu 39:

17/06/2026

Cho tam giác ABC. Với $\tan (\frac{A}{2})$ , $\tan (\frac{B}{2})$ , $\tan (\frac{C}{2})$ lập thành cấp số cộng nếu và chỉ nếu

A. sinA; sinB; sinC lập thành cấp số cộng

B. sinA; sinB; sinC lập thành cấp số nhân

C. cosA; cosB; cosC lập thành cấp số cộng

D. cosA; cosB; cosC lập thành cấp số nhân

Xem đáp án

$\tan (\frac{A}{2})$ , $\tan (\frac{B}{2})$ , $\tan (\frac{C}{2})$ lập thành cấp số cộng

2 $\tan (\frac{B}{2})$ = $\tan (\frac{A}{2})$ + $\tan (\frac{C}{2})$

$\Leftrightarrow 2 \frac{\sin (\frac{B}{2})}{\cos (\frac{B}{2})} = \frac{\sin (\frac{A}{2})}{\cos (\frac{A}{2})} + \frac{\sin (\frac{C}{2})}{\cos (\frac{C}{2})} \Rightarrow 2 \frac{\sin (\frac{B}{2})}{\cos (\frac{B}{2})} = \frac{\cos (\frac{B}{2})}{\cos (\frac{A}{2}) . \cos (\frac{C}{2})}$

$\sin (\frac{B}{2}) (\cos (\frac{A + C}{2}) + \cos (\frac{A - C}{2})) = \cos^{2} (\frac{B}{2}) \Leftrightarrow \sin (\frac{B}{2}) (\sin (\frac{B}{2}) + \cos (\frac{A - C}{2})) - \sin^{2} (\frac{B}{2}) = \cos^{2} (\frac{B}{2}) - \sin^{2} (\frac{B}{2})$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{B + A - C}{2}) + \sin (\frac{B - A + C}{2}) = 2 \cos (B) \Leftrightarrow \cos (C) + \cos (A) = 2 \cos (B)$

Đáp án cần chọn là C

Câu 40:

17/06/2026

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Gọi $M (x_{0}, y_{0})$ , $x_{0} > 0$ là một điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại A, B thỏa mãn $A B^{2} + I B^{2} = 40$ . Khi đó tích $x_{0} y_{0}$ bằng

A. $\frac{15}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Giao điểm của hai đường tiệm cận là I ( -1;2 )

$y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ $\Rightarrow y' = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} \Rightarrow$ PTTT tại $M (x_{0}, y_{0})$ là

$(d) y = \frac{3}{{(x_{0} + 1)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{2 x_{0} - 1}{x_{0} + 1}$

Giao của (d) với TCD x = -1 là $A (- 1; \frac{2 x_{0} - 4}{x_{0} - 1})$ , Giao của (d) với TCD $B (2 x_{0} + 1; 2)$

$A B^{2} + I B^{2} = 40$ $\Leftrightarrow {(2 - \frac{2 x_{0} - 4}{x_{0} - 1})}^{2} + {(- 2 x_{0} - 2)}^{2} = 40$

$\Leftrightarrow \frac{36}{{(x_{0} + 1)}^{2}} + 4 {(x_{0} + 1)}^{2} = 40$

${(x_{0} + 1)}^{4} - 10 {(x_{0} + 1)}^{2} + 9 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x_{0} + 1)}^{2} = 1 \\ {(x_{0} + 1)}^{2} = 9 \end{cases} \Rightarrow x_{0} = 2 (x_{0} > 0) \Rightarrow y_{0} = - 1 \Rightarrow x_{0} y_{0} = 2$

Đáp án cần chọn là D

Câu 41:

17/06/2026

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{x} . \sin (x)$ và các đường thẳng x = 0, x = π, trục hoành. Một đường x = k cắt diện tích trên tạo thành 2 phần có diện tích bằng $S_{1}, S_{2}$ sao cho $(2 S_{1} + 2 S_{2} - 1) = {(2 S_{1} - 1)}^{2}$ khi đó k bằng:

A. $\frac{π}{4}$

B. $\frac{π}{2}$

C. $\frac{π}{3}$

D. $\frac{π}{6}$

Xem đáp án

Ta có

$S_{1} = \int_{0}^{k} e^{x} \sin (x d x); S_{2} = \int_{k}^{π} e^{x} \sin (x d x) S = S_{1} + S_{2} = \int_{0}^{π} e^{x} \sin (x d x)$

$(2 S_{1} + 2 S_{2} - 1) = {(2 S_{1} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow S_{2} = 2 {S_{1}}^{2} - 2 S_{1} + 1 - S = 0 \Leftrightarrow 2 {(\int_{0}^{k} e^{x} \sin (x d x))}^{2} - 2 \int_{0}^{k} e^{x} \sin (x d x) + 1 - \int_{0}^{k} e^{x} \sin (x d x) = 0$

Tính toán trực tiếp qua các đáp án ta thấy PT trên đúng với k = $\frac{π}{2}$

Đáp án cần chọn là B

Câu 42:

17/06/2026

Cho số phức z thỏa mãn $|z + i - 1| = |z - 2 i|$ . Modun của z có giá trị nhỏ nhất là

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. 1

D. Kết quả khác.

Xem đáp án

$|z + i - 1| = |z - 2 i|$ $\Leftrightarrow |(a + 1) + (b + 1)| = |a + (b - 2) i|$

Với z = a + bi

${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} = a^{2} + {(b - 2)}^{2} \Leftrightarrow a + b = 1$

Từ đây ta có $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq \sqrt{\frac{(a + b)}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Đáp án cần chọn là A

Câu 43:

17/06/2026

Lăng trị ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P) chứa BC vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}$ . Thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C' bằng.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm BC. Từ M kẻ $M H ⊥ A A' \Rightarrow (H B C) ⊥ A A'$

$H M = \frac{2 d t_{H B C}}{B C} = 2 \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8 a} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

$A H = \sqrt{A M^{2} - H M^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{3 a^{2}}{16}} = \frac{3 a}{4}$

$∆ A M H ~ ∆ A A' O \Rightarrow \frac{A H}{A O} = \frac{M H}{A' O} \Rightarrow A' O = \frac{A O . M H}{A H} = \frac{a . a \sqrt{3} . 4}{\sqrt{3} . 4.3 a} = \frac{a}{3}$

Vậy thể tích ABCA’B’C' là

$V = A O . d t_{A B C} = \frac{a}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Đáp án cần chọn là D

Câu 44:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{V_{1}}{V}$ ?

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Gọi G là trọng tâm tam giác $S A C \Rightarrow M N$ đi qua G

$\frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{2} (\frac{V_{S A M N}}{V_{S A B D}} + \frac{V_{S M N P}}{V_{S B D C}}) = \frac{1}{2} (\frac{S M}{S D} . \frac{S N}{S B} + \frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S D} . \frac{S N}{S B}) = \frac{3}{4} x . y$

$\frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{2} (\frac{V_{S A P N}}{V_{S A C B}} + \frac{V_{S A M P}}{V_{S A D C}}) = \frac{1}{2} (\frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} + \frac{S M}{S D} . \frac{S P}{S C}) = \frac{1}{4} (x + y)$

Với $x = \frac{S N}{S B}; Y = \frac{S M}{S D}$

$\Rightarrow 3 x y = x + y \geq 2 \sqrt{x y} \Leftrightarrow 9 x^{2} y^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow \frac{3}{4} x y \geq \frac{1}{3}$

Vậy $\frac{V_{1}}{V}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là D

Câu 45:

17/06/2026

Cho mặt phẳng (P): x + y - z + 3 = 0 và hai điểm A ( 2;1;2 ) , B ( 0;3;4 ) . Số các điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M là.

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số điểm

Xem đáp án

Tập hợp các điểm M sao cho tam giác ABM vuông tại M là mặt cầu (S) đường kính AB. Có tâm I là trung điểm của AB có tọa độ I ( 1;2;3 ) và có bán kính $R = \frac{A B}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{3}$

Khoảng cách từ I ( 1;2;3 ) tới (P): x + y - z + 3 = 0 là $h = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} = R$

Như vậy (P) tiếp xúc với mặt cầu nên có điểm chung duy nhất hay có 1 điểm M thuộc (P)

Đáp án cần chọn là B

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3