Xét tứ giác ABCD như hình vẽ. Ta cần chứng minh AB < AD + BC + CD và các trường hợp còn lại tương tự.

Xét tam giác ABD, ta có: AB < AD + DB (bất đẳng thức trong tam giác).

Xét tam giác BCD, ta có: DB < BC + CD (bất đẳng thức trong tam giác).

Do đó AB < AD + DB < AD + BC + CD.

Vậy AB < AD + BC + CD.

Tương tự ta cũng có:

BC < AB + CD + DA; CD < AD + AB + BC; DA < AB + BC + CD.

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là P_ABCD = AB + BC + CD + DA.

a) Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó AC + AC < AB + BC + CD + DA hay 2AC < P_ABCD (1)

Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB

Trong ∆BCD có: BD < CD + BC

Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < P_ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2P_ABCD, do đó AC + BD < P_ABCD.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OCD có OC + OD > CD (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD.

Trong ∆OAD có OA + OD > AD (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC.

Vậy 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA = P_ABCD

Tức là  $AC+BD>\frac{1}{2}{P}_{ABCD}.$

– Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP + MQ ≥ PQ và MP + MQ = PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP + MQ > PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

• nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP + MQ = PQ (hình vẽ)

• nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP + MQ > PQ (hình vẽ).

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

Ta có:

MA + MC ≥ AC và MA + MC = AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

MB + MD ≥ BD và MB + MD = BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD và MA + MB + MC + MD = AC + BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra  ${\widehat{A}}_2={\widehat{C}}_2$

Xét ∆BAC có:  ${\widehat{A}}_2+{\widehat{C}}_2+\widehat{B}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Do đó  $\widehat{A}={\widehat{C}}_2=\frac{180°-\widehat{B}}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°.$

Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra  ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$

Xét ∆ADC có:  ${\widehat{A}}_1+{\widehat{C}}_1+\widehat{D}=180°$

Do đó  ${\widehat{A}}_1=\widehat{C}=\frac{180°-\widehat{D}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°.$

Ta có:  $\widehat{A}={\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2=40°+30°=70°;$

$\widehat{C}={\widehat{C}}_1+{\widehat{C}}_2=40°+30°=70°.$

Vậy tứ giác ABCD có  $\widehat{A}=\widehat{C}=70°.$

a)

Do góc ngoài và góc tại đỉnh đó là 2 góc kề bù nên tổng bằng 180°.

Xét tứ giác ABCD (hình vẽ) có:

${\widehat{A}}_1+{\widehat{B}}_1+{\widehat{C}}_1+{\widehat{D}}_1=360°;$

Góc ngoài tại đỉnh A là  ${\widehat{A}}_2=180°-{\widehat{A}}_1;$

Góc ngoài tại đỉnh B là  ${\widehat{B}}_2=180°-{\widehat{B}}_1;$

Góc ngoài tại đỉnh C là  ${\widehat{C}}_2=180°-{\widehat{C}}_1;$

Góc ngoài tại đỉnh D là  ${\widehat{D}}_2=180°-{\widehat{D}}_1.$

Tổng 4 góc ngoài của tứ giác ABCD là:

b)

Tương tự, với tam giác ABC, ta có tổng các góc ngoài là: