Đáp án đúng là: B.

+ Giả sử ta có tam giác có hai góc tù với \(\widehat A > 90^\circ \), \(\widehat B > 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat A + \widehat B > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Mà tổng ba góc trong một tam giác bất kì luôn bằng 180°.

Do đó, một tam giác không thể có hai góc tù hay một tam giác không thể có ít nhất một góc tù. Vậy câu A sai.

+ Tam giác tù có một góc tù và hai góc nhọn, tam giác vuông có một góc vuông và hai góc nhọn, tam giác nhọn có ba góc nhọn. Vậy mọi tam giác có ít nhất hai góc nhọn. Do đó câu B đúng.

+ Tam giác cân không nhất thiết phải có một góc bằng 60°.

Chẳng hạn, tam giác ABC có \(\widehat A = 100^\circ ,\,\widehat B = \widehat C = 40^\circ \) thì tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Vậy câu C sai.

+ Tam giác không thể có hai góc vuông vì không thỏa mãn định lí tổng ba góc trong tam giác. Vậy câu D sai.

Đáp án đúng là: C

Câu A đúng theo định lí tổng ba góc trong tam giác.

Tam giác vuông có một góc vuông, do đó tổng của hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 180° – 90° = 90°. Vậy câu B đúng.

Vì trong tam giác tù có một góc tù, góc này lớn hơn 90°, vậy tổng hai góc nhọn trong tam giác tù phải nhỏ hơn 90° để thỏa mãn định lí tổng ba góc trong tam giác. Vậy câu C sai.

Tam giác nhọn có cả ba góc đều là góc nhọn, do đó góc lớn nhất trong tam giác nhọn có số đo nhỏ hơn 90°. Vậy câu D đúng.

Đáp án đúng là: B

Câu A sai do ba cặp góc của tam giác tương ứng bằng nhau thì các cạnh tương ứng chưa chắc đã bằng nhau.

Câu B đúng theo trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh của hai tam giác.

Câu C sai, cặp góc tương ứng bằng nhau phải là góc xem giữa hai cạnh thì câu này mới đúng,

Câu D sai do ta mới chỉ có hai yếu tố.

Đáp án đúng là: D

Câu A đúng theo trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh của hai tam giác.

Câu B đúng theo trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác.

Câu C đúng theo định nghĩa hai tam giác bằng nhau.

Câu D sai, do hai tam giác chưa chắc đã bằng nhau.

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, ba góc bằng nhau và bằng 60°.

Do đó câu A đúng và câu B, C, D sai.

Đáp án đúng là: C

Tam giác tù có một góc tù và góc tù thì có số đo lớn hơn 90°, do đó câu A đúng.

Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông nên câu B đúng.

Tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc đều là góc nhọn, số đo góc nhọn nhỏ hơn 90°.

Vậy câu D đúng.

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Vậy câu C sai.

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa, đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Vậy câu D đúng.

Hướng dẫn giải

Tam giác BED vuông tại E nên \(\widehat B + \widehat {EDB} = 90^\circ \,\,\,hay\,\,\,\widehat B + x = 90^\circ \).

Suy ra \(x = 90^\circ - \widehat B = \)90° – 40° = 50°.

Ta có: \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

Lại có: \(\widehat {BDE} + \widehat {ECA} = \widehat {ABD}\) hay x + y = 110°.

Suy ra y = 110° – x = 110° – 50° = 60°.

Tam giác AED vuông tại E nên \(\widehat {EDA} + \widehat {EAD} = 90^\circ \) hay y + z = 90°.

Suy ra z = 90° – y = 90° – 60° = 30°.

Tam giác ADC có AD = AC nên tam giác ADC cân tại đỉnh A.

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {ADC} = 70^\circ \) hay v = 70°.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ADC, ta có:

\(\widehat {ADC} + \widehat {ACD} + \widehat {CAD} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {CAD} = 180^\circ - \widehat {ACD} - \widehat {ADC} = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ \) hay t = 40°.

Vậy x = 50°, y = 60°, z = 30°, v = 70°, t = 40°.

Hướng dẫn giải

Câu a đúng theo định nghĩa tam giác nhọn.

Tam giác vuông có một góc vuông và hai góc còn lại phải là góc nhọn để đảm bảo định lí tổng ba góc trong tam giác do đó câu b đúng.

Tam giác tù có một góc tù và hai góc còn lại là hai góc nhọn nên góc tù có số đo lớn nhất, do đó câu c sai và câu d đúng.

Vậy a), b), d) đúng và c) sai.

Hướng dẫn giải

a) Câu a) đúng.

Giải thích:

+ Giả sử tam giác ABC cân tại đỉnh A có góc ở đáy \(\widehat B\) = 60°.

Khi đó, \(\widehat C = \widehat B = 60^\circ \).

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \).

\( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \).

Do đó, \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \), nên tam giác ABC cân tại đỉnh C.

Vậy tam giác ABC đều.

+ Giả sử tam giác ABC cân tại đỉnh A có góc ở đỉnh \(\widehat A = 60^\circ \).

Theo định lí tổng ba góc trong tam giác, ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \).

Mà \(\widehat B = \widehat C\) (do tam giác ABC cân đỉnh A).

Do đó, \(\widehat B + \widehat B = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \), suy ra \(\widehat B = 60^\circ \).

Do đó, \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ \), nên tam giác ABC cân tại đỉnh C.

Vậy tam giác ABC đều.

b) Câu b) sai.

Chẳng hạn tam giác ABC cân tại đỉnh A có \(\widehat A = 100^\circ \), \(\widehat B = \widehat C = 40^\circ \), đây là tam giác tù.

c) Từ định lí tổng ba góc trong tam giác, ta suy ra tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông bằng 90°.

Vậy câu c) đúng.

d) Tam giác vuông cân thì luôn cân tại đỉnh góc vuông và có hai góc nhọn bằng 45° là câu đúng.

Giả sử có tam giác ABC vuông tại A, cân tại B, khi đó \(\widehat A = \widehat C = 90^\circ \), do đó \(\widehat A + \widehat B + \widehat C > 180^\circ \) không thỏa mãn định lí tổng ba góc trong tam giác.

Vậy tam giác vuông cân thì luôn cân tại đỉnh góc vuông và từ định lí tổng ba góc và tính chất của tam giác cân, ta tính được số đo hai góc nhọn bằng 45°.

Vậy câu a), c), d) đúng và câu b) sai.

Hướng dẫn giải

+ Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \).

\( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \widehat B - \widehat C = 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ = 60^\circ \).

+ Tam giác DEF có DE = DF, do đó tam giác DEF cân tại đỉnh D.

Suy ra \(\widehat E = \widehat F = 55^\circ \).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác DEF, ta có:

\(\widehat D + \widehat E + \widehat F = 180^\circ \).

\( \Rightarrow \widehat D = 180^\circ - \widehat E - \widehat F = 180^\circ - 55^\circ - 55^\circ = 70^\circ \).

+ Tam giác MNP vuông tại N, do đó \(\widehat M + \widehat P = 90^\circ \).

Suy ra \(\widehat M = 90^\circ - \widehat P = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác DAC và tam giác DBC có:

DA = DB (gt)

DC: cạnh chung

AC = BC (gt)

Do đó, ∆DAC = ∆DBC (c – c – c).

Suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {DBC}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: DA = DB nên D cách đều A và B, do đó D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Tương tự CA = CB nên C cách đều A và B, do đó C thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy đường thẳng DC là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó đường thẳng DC vuông góc với đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông ACD có:

AD: cạnh chung

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) (gt)

Do đó, ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – góc nhọn).

Xét tam giác vuông ABF và tam giác vuông ACE có:

AB = AC (do ∆ABD = ∆ACD)

\(\widehat {FAB} = \widehat {EAC}\) (góc chung)

Do đó, ∆ABF = ∆ACE (cạnh góc vuông và góc nhọn kề).

Xét tam giác vuông BDE và tam giác vuông CDF có:

BD = CD (do ∆ABD = ∆ACD)

\(\widehat {BDE} = \widehat {CDF}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆BDE = ∆CDF (cạnh góc vuông và góc nhọn kề).

Vậy ta có ba cặp tam giác vuông bằng nhau như trên.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ADE và tam giác ADF có:

AE = AF (do ∆ABF = ∆ACE)

\(\widehat {EAD} = \widehat {FAD}\) (gt)

AD: cạnh chung

Do đó, ∆ADE = ∆ADF (c – g – c).

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác vuông PBM và tam giác vuông QCM có:

BM = MC (do M là trung điểm của BC)

\(\widehat B = \widehat C\) (do tam giác ABC cân tại đỉnh A)

Do đó, ∆PBM = ∆QCM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MP = MQ.

Ta lại có: AB = AC (do tam giác ABC cân tại đỉnh A).

AB = AP + PB, AC = AQ + QC.

Suy ra AP + PB = AQ + QC

Mà PB = QC (do ∆PBM = ∆QCM)

Do đó AP = AQ.

Hướng dẫn giải:

Theo câu a ta có, AP = AQ và MP = MQ, do đó A và M cùng cách đều hai điểm P, Q nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Do đó, AM vuông góc với PQ.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông PAM và tam giác vuông QBM có:

AM = BM (do M là trung điểm của AB)

\(\widehat {PMA} = \widehat {QMB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆PAM = ∆QBM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AP = BQ.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác APB và tam giác BQA có:

AP = BQ (cmt)

\(\widehat {PAB} = \widehat {QBA}\) (do ∆PAM = ∆QBM)

AB: cạnh chung

Do đó, ∆APB = ∆BQA (c – g – c).

Hướng dẫn giải

Ta có: AD = AC = CD, do đó tam giác ACD là tam giác đều.

Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {ADC} = \widehat {CAD} = 60^\circ \).

Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {ACD} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {ACD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Tam giác ABC có CB = CA nên tam giác ACB cân tại đỉnh C.

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC}\).

Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Do đó, \(2\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {ACB} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ABC} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Do đó, \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = 30^\circ \).

Chứng minh tương tự đối với tam giác ADE cân tại đỉnh D, ta cũng có: \(\widehat {DEA} = \widehat {DAE} = 30^\circ \)

Ta có: \(\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} + \widehat {DAE} = 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 120^\circ \).

Vậy trong tam giác ABE có: \(\widehat {ABE} = \widehat {ABC} = 30^\circ \); \(\widehat {AEB} = \widehat {DEA} = 30^\circ \) và \(\widehat {BAE} = 120^\circ \).

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của AD.

Khi đó, AO = OD = \(\frac{{AD}}{2} = \frac{4}{2} = 2\) (cm).

Do đó, AB = BC = CD = AO = OD = 2 cm.

Tam giác ABO có AB = BO nên tam giác ABO cân tại đỉnh A.

Suy ra \(\widehat {ABO} = \widehat {AOB}\).

Lại có: AD // BC (do ABCD là hình thang cân có AD và BC là đáy)

Suy ra \(\widehat {CBO} = \widehat {AOB}\) (hai góc so le trong).

Do đó, \(\widehat {ABO} = \widehat {AOB} = \widehat {CBO}\).

Xét tam giác ABO và tam giác CBO có:

AB = BC (= 2 cm)

\(\widehat {ABO} = \widehat {CBO}\) (cmt)

BO: cạnh chung

Do đó, ∆ABO = ∆CBO (c – g – c).

Suy ra CO = AO = 2 cm.

Tam giác COD có CD = OD = OC (= 2 cm). Do đó tam giác COD là tam giác đều.

Suy ra \(\widehat D = \widehat {CDO} = 60^\circ \).

Ta có: \(\widehat D + \widehat {BCD} = 180^\circ \) (BC // AD, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Suy ra \(\widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Do ABCD là hình thang cân với AD và BC là đáy.

Vậy \(\widehat A = \widehat D = 60^\circ \) và \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = 120^\circ \).