Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng:

Ta thấy: x là thời gian tính bằng năm và không hề tồn tại giá trị x = 2 587 hay năm 2 587 ở trong bảng. Vậy đáp án D sai.  

Đáp án đúng là: B

Xét hình B:

Ta thấy, trong hình vẽ, với một giá trị của x ta có thể xác định được hai giá trị của y tương ứng nên đây không phải đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của hàm số $y =\sqrt{x}$ là: x ≥ 0.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x}$ là: D = [0; +∞).

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của hàm số $y=\frac{1}{x}$ là: x ≠ 0.

Khi đó $\frac{1}{x}\ne 0$ với mọi x ≠ 0.

Do đó, tập xác định và tập giá trị của hàm số cùng là ℝ\{0}.

Đáp án đúng là: A

Hàm số f(x) = (m + 1)x + 2 đồng biến trên ℝ ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > –1.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta có:

Khi x = 2 thì y = 1, thay vào các hàm số đã cho, ta thấy $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$, y = |3 – x| thỏa mãn.

Khi x = –2 thì y = 1, chỉ có hàm số $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$ thỏa mãn.

Vậy đồ thị đã cho trên là đồ thị của hàm số $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$.

Đáp án đúng là: D

Trục đối xứng của parabol (P): y = 2x² + 6x + 3 là $x=\frac{-6}{2.2}=\frac{-3}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Parabol y = –4x – 2x² = – 2x² – 4x  có đỉnh có:

Hoành độ: $x_0=\frac{-(-4)}{2.(-2)}=-1$

Tung độ: y₀ = –4.(–1) – 2.(–1)² = 2

Vậy tọa độ đỉnh của parabol y = –4x – 2x² là I(–1; 2).

Đáp án đúng là: D

Parabol y = x² – 2x + 3 có a = 1 > 0

Ta có: $-\frac{b}{2a}=-\frac{(-2)}{2.1}=1$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 1) và đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Đáp án đúng là: A

Xét đồ thị:

Parabol có bề lõm hướng lên nên hệ số a > 0, do đó các hàm số y = x² + 2x – 3, y = x² – 2x – 3 thỏa mãn.

Khi x = 1 thì y = 0 nên chỉ có hàm số y = x² + 2x – 3 thỏa mãn.

Đáp án đúng là: D

Xét đồ thị:

Parabol có bề lõm hướng xuống nên a < 0.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0.

Đỉnh parabol có hoành độ dương nên $\frac{-b}{2a}$ > 0 mà a < 0 nên b > 0.

Vậy a < 0, c > 0, b > 0.

Đáp án đúng là: A

Parabol (P): y = x² – 2x + m – 1 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung tức là phương trình x² – 2x + m – 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu

⇔ ac < 0

⇔ 1.(m – 1) < 0

⇔ m – 1 < 0

 ⇔ m < 1.

Đáp án đúng là: A

Xét bảng xét dấu:

Trên khoảng (–2; 3) thì f(x) > 0 nên a < 0, các hàm số f(x) = –x² + x + 6 ; f(x) = –x² + 5x – 6 thỏa mãn.

Khi x = –2 thì f(x) = 0 nên chỉ có hàm số f(x) = –x² + x + 6 thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức f(x) = x² + 12x + 36 có:

a = 1 > 0

Δ = 12²  – 4.1.36 = 0

f(x) = x² + 12x + 36 = 0 ⇔ x = –6

Do đó, f(x) > 0 với x ∈ ℝ\{–6} và f(x) = 0 tại x = –6

Vậy ta có bảng biến thiên:

Đáp án đúng là: A

x² – 4x + 3 < 0 (*)

Xét tam thức f(x) = x² – 4x + 3 < 0 có:

a = 1 > 0

Δ = (–4)² – 4.1.3 = 4 > 0

f(x) = x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x₁ = 1; x₂ = 3

Do đó, x² – 4x + 3 < 0 ⇔ 1 < x < 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là: (1; 3).

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức f(x) = x² + 4x + m – 5 có:

a = 1 > 0

f(x) luôn dương ⇔ Δ < 0

⇔ 4² – 4.1.(m – 5) < 0

⇔ 16 – 4m + 20 < 0

⇔ 4m > 36

⇔ m > 9.

Đáp án đúng là: C

Phương trình (m + 2) x² – 3x + 2m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

ac < 0

⇔ (m + 2)(2m – 3) < 0

 ⇔ 2m² – 3m + 4m – 6 < 0

⇔ 2m² + m – 6 < 0

Xét tam thức f(x) = 2m² + m – 6 có:

a = 2 > 0

Δ = 1² – 4.1.(–6) = 25 > 0

f(x) = 2m² + m – 6 = 0 có hai nghiệm là: x₁ = –2; x₂ = $\frac{3}{2}$.

Do đó, 2m² + m – 6 < 0 ⇔ –2 < x < $\frac{3}{2}$ 

Vậy phương trình (m + 2) x² – 3x + 2m – 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $-2<m<\frac{3}{2}$.

Đáp án đúng là: D

+) Khi m = 0, ta có:

mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0

⇔ x + 1 < 0

⇔ x < –1

Do đó, m = 0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

+) Khi m ≠ 0, ta có:

Xét tam thức: f(x) = mx² – (2m – 1)x + m + 1 có:

a = m,

∆ = [–(2m – 1)²] – 4.m.(m + 1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 4m = –8m + 1

Để mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm khi và chỉ khi mx² – (2m – 1)x + m + 1 ≥ 0 với mọi số thực x

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ -8m+1\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ m\ge \frac{1}{8}\end{array}\right.\iff m\ge \frac{1}{8}$

Vậy khi $m\ge \frac{1}{8}$thì bất phương trình mx² – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

$\sqrt{x^2+4x-2}=x-3$ (*)

Bình phương hai vế (*) ta có:

x² + 4x – 2 = (x – 3)²

⇔ x² + 4x – 2 = x² – 6x + 9

⇔ 10x = 11

⇔$x=\frac{11}{10}$

Thay $x=\frac{11}{10}$vào (*) ta có:

$\sqrt{{\left(\frac{11}{10}\right)}^2+4.\frac{11}{10}-2}=\frac{11}{10}-3\iff \frac{19}{10}=-\frac{19}{10}$(không thỏa mãn)

Vậy phương trình (*) vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

$\sqrt{2x^2-9x-9}=3-x$ (*)

Bình phương hai vế (*) ta có:

2x² – 9x – 9 = (3 – x)²

⇔ 2x² – 9x – 9 = 9 – 6x + x²

⇔ x² – 3x – 18 = 0

⇔ x = 6 hoặc x = –3

Thay x = 6 vào (*) ta có:

$\sqrt{{2.6}^2-9.6-9}=3-6\iff 3=-3$ (không thỏa mãn)

Thay x = –3 vào (*) ta có:

$\sqrt{2.{(-3)}^2-9.(-3)-9}=3-(-3)\iff 6=6$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S = {–3}.

Đáp án đúng là: B

$\sqrt{2x^2-5x+1}=\sqrt{x^2+2x-9}$ (*)

Bình phương hai vế của (*) ta có:

2x² – 5x + 1 = x² + 2x – 9

⇔ x² – 7x + 10 = 0

⇔ x = 5 hoặc x = 2

Thay x = 5 vào (*) ta có:

$\sqrt{{2.5}^2-5.5+1}=\sqrt{5^2+2.5-9}\iff \sqrt{26}=\sqrt{26}$ (thỏa mãn)

Thay x = 2 vào (*) ta có:

$\sqrt{{2.2}^2-5.2+1}=\sqrt{2^2+2.2-9}\iff \sqrt{-1}=\sqrt{-1}$ (không thể tồn tại)

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là: S = {5}.

a)

Điều kiện xác định của hàm số là: –x² + 3x – 2 ≥ 0

Xét tam thức f(x) = –x² + 3x – 2 có:

a = –1 < 0

∆ = 3² – 4.(–1).(–2) = 1 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là: x₁ = 2 ; x₂ = 1

Do đó, ta có:

–x² + 3x – 2 ≥ 0

⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Vậy tập xác định của hàm số là: D = [1; 2].

b)

Điều kiện xác định của hàm số là:

x² – 1 > 0

⇔ x² > 1

⇔ x < –1 hoặc x > 1

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (–∞; –1)∪(1; +∞).

a)

Tập xác định của hàm số là tập giá trị của x là đoạn D = [–2; 3].

b)

Trên nửa khoảng [–2; –1), đồ thị hàm số là đoạn thẳng đi qua điểm (–2; –1) và (–1,5; 0)

Trên nửa khoảng [–1; 1), đồ thị hàm số là đoạn thẳng đi qua điểm (–1; 1) và (0; 1,5)

Trên đoạn [1; 3], đồ thị hàm số là đoạn thẳng đi qua điểm (1; 4) và (3; 3).

Vậy ta vẽ được đồ thị hàm số như hình dưới đây

c)

Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng (–2; 1) và đi xuống trên khoảng (1; 3)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (–2; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 3).

d)

Dựa vào đồ thị ta thấy tập giá trị của hàm số là [–1; 2) ∪ [3; 4].

a)

y = |x – 1| + |x + 1|

Hàm số có tập xác định là: D = ℝ

$y=\left|x-1\right|+\left|x+1\right|=\left\{\begin{array}{c}-2xkhix<-1\\ 2khi-1\le x<1\\ 2xkhix\ge 1\end{array}\right.$.

Trên khoảng (–∞; –1), đồ thị hàm số là đường thẳng y = –2x

Trên nửa khoảng [–1; 1), đồ thị hàm số là đường thẳng y = 2 (song song với trục Ox)

Trên nửa khoảng [1; +∞), đồ thị hàm số là đường thẳng y = 2x

Khi x = –1 thì y = 2 nên đồ thị hàm số đi qua điểm (–1; 2)

Khi x = 1 thì y = 2 nên đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2)

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Dựa vào đồ thị có:

- Tập giá trị của hàm số là T = [2; +∞).

- Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (–∞; –1), đi lên trên từ trái sang phải trên khoảng (1; +∞), và song song với trục Ox trên khoảng (–1; 1).

Do đó, hàm số này nghịch biến trên khoảng (–∞; –1), đồng biến trên khoảng (1; +∞), và là hàm hằng trên (–1; 1).

b)

Tập xác định hàm số là D = ℝ.

$y=\left\{\begin{array}{c}x+1khix<-1\\ x^2-1khix\ge -1\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số là đường thẳng y = x + 1 trên khoảng (–∞; –1), đường thẳng này đi qua điểm (–2; –1) và (–3; –2).

Đồ thị hàm số là parabol y = x2 – 1 trên nửa khoảng [–1; +∞), parabol này có đỉnh (0; –1), trục đối xứng x = 0 (trục Oy) và đi qua điểm (–1; 0) và (1; 0).

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Dựa vào đồ thị ta có:

- Tập giá trị của hàm số là: T = ℝ.

- Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên các khoảng (–∞; –1) và (0; +∞), đi xuống từ trái sang phải trên khoảng (–1; 0).

Do đó, hàm số này đồng biến trên khoảng (–∞; –1) và (0; +∞), nghịch biến trên khoảng (–1; 0).

a)

Xét hình (a) ta có:

Parabol có bề lõm hướng xuống nên a < 0

Parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên c > 0

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $\frac{-b}{2a}$ < 0. Mà a < 0 nên b < 0

Vậy a < 0, c > 0, b < 0.

b)

Xét hình (b) ta có:

Parabol có bề lõm hướng lên nên a > 0

Parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên c > 0

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $\frac{-b}{2a}$ > 0. Mà a > 0 nên b < 0

Vậy a > 0, c > 0, b < 0.

c)

Xét hình (c) ta có:

Parabol có bề lõm hướng lên nên a > 0

Parabol cắt trục Oy tại gốc tọa độ nên c = 0.

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $\frac{-b}{2a}$ < 0. Mà a > 0 nên b > 0

Vậy a > 0, c = 0, b > 0.

d)

Xét hình (d) ta có:

Parabol có bề lõm hướng xuống nên a < 0

Parabol cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên c < 0

Parabol có đỉnh có hoành độ là: $\frac{-b}{2a}$ > 0. Mà a < 0 nên b > 0

Vậy a < 0, c < 0, b > 0.

a)

Đồ thị hàm số y = –x + 3 là đường thẳng đi qua điểm (0; 3), (–1; 4) và (3; 0)

Đồ thị hàm số y = –x² – 4x + 1 là parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh là điểm (–2; 5), trục đối xứng x = –2, đi qua các điểm (0; 1) và (–1; 4)

Đồ thị hai hàm số như hình vẽ:

Toạ độ giao điểm của chúng là: (–1; 4) và (–2; 5).

b)

Đồ thị hàm số y = 2x – 5 là đường thẳng đi qua điểm (0; –5), (2,5; 0)

Đồ thị hàm số y = x² – 4x – 1 là parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh là điểm (2; –5), trục đối xứng x = 2, đi qua điểm (0; –1).

Đồ thị hai hàm số như hình vẽ:

Hai đồ thị hàm số có giao điểm là M và N

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

x²  – 4x – 1 = 2x – 5

⇔ x² – 6x + 4 = 0

⇔ $x=3-\sqrt{5}$ hoặc $x=3+\sqrt{5}$

Với $x=3-\sqrt{5}$ta được$y=2.\left(3-\sqrt{5}\right)-5=1-2\sqrt{5}$. Vậy $M\left(3-\sqrt{5};1-2\sqrt{5}\right)$.

Với $x=3+\sqrt{5}$ta được$y=2.\left(3+\sqrt{5}\right)-5=1+2\sqrt{5}$. Vậy $N\left(3+\sqrt{5};1+2\sqrt{5}\right)$.

a)

Đồ thị hàm số y = x² – 3x + 2 là parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh là (1,5; –0,25), đi qua hai điểm (1; 0) và (2; 0). Đồ thị hàm số như hình vẽ:

Việc giải bất phương trình x² – 3x + 2 ≥ 0 ứng với việc tìm các khoảng mà phần đồ thị tương ứng của nó nằm phía trên trục hoành. Từ đồ thị trên ta thấy khi x ≤ 1 và x ≥ 2 thì đồ thị hàm số y = x² – 3x + 2 nằm phía trên trục hoành.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–∞; 1]∪[2; +∞).

b)

Đồ thị hàm số y = x² – x – 6 là parabol có bề lõm hướng lên, đỉnh là: (0,5; –6,25), đi qua hai điểm (–2; 0), (3; 0) được vẽ trong hình sau:

Việc giải bất phương trình y = x² – x – 6 < 0 ứng với việc tìm các khoảng mà phần đồ thị tương ứng của nó nằm phía dưới trục hoành. Từ đồ thị trên ta thấy khi –2 < x < 3 thì đồ thị hàm số y = x² – x – 6 nằm phía dưới trục hoành.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (–2; 3).

a)

Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{m{x}^2-2mx+5}}$có tập xác định là ℝ nếu và chỉ nếu mx² – 2mx + 5 > 0 với mọi số thực x

- Khi m = 0 thì hàm số cho bởi công thức $y=\frac{1}{\sqrt{5}}$lúc này hàm số có tập xác định là ℝ.

- Khi m ≠ 0 thì mx² – 2mx + 5 > 0 với mọi số thực x nếu và chỉ nếu a = m > 0 và ∆’ = m² – 5m < 0

Xét tam thức bậc hai: f(m) = m² – 5m có:

a = 1 > 0, ∆_m = (–5)² – 4.1.0 = 25 > 0

f(m) = 0 có hai nghiệm phân biệt là: m = 0 hoặc m = 5

Do đó, m² – 5m < 0 ⇔ 0 < m < 5

Vậy hàm số đã cho xác định trên ℝ nếu và chỉ nếu 0 ≤ m < 5.

b)

Tam thức y = –x² + mx – 1 có dấu không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi

∆ = m²  – 4 < 0  

⇔ m² < 4

⇔ –2 < m < 2.

Vậy tam thức y = –x² + mx – 1 có dấu không phụ thuộc vào x khi 2 < m < 2.

Đặt AM = x (0 < x < 13).

Xét tam giác ABM vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AM² + AB² = BM²

$\Rightarrow BM=\sqrt{A{M}^2+A{B}^2}=\sqrt{36+x^2}$ và MD =13 – x.

Theo giả thiết ta có: BM = 2MD $\Rightarrow \sqrt{36+x^2}=2.\left(13-x\right)\iff \sqrt{36+x^2}=26-2x$ (*)

Bình phương hai vế của (*) ta có:

36 + x² = 26² – 104x + 4x²

⇔ 3x² – 104x + 640 = 0

⇔ x = 8 (thỏa mãn) hoặc x = $\frac{80}{3}$> 13 (loại)

Vậy AM = 8 cm hay điểm M nằm trên cạnh AD sao cho AM = 8 cm thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Hàm số bậc hai $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$.

Khi đó, các hệ số của hàm số bậc hai là $a=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }<0$(do g, v_0­², cos²α luôn dương), b = tanα, c = 0.

b)

Toạ độ đỉnh I(xI; yI) của đường parabol là

$\begin{array}{c}{x}_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{\left(\tan \alpha \right).\left(2v_0^2{\cos }^2\alpha \right)}{-2g}=\frac{v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{g}\\ y_I=f\left(x_I\right)=\left(\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }\right){\left(\frac{v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{g}\right)}^2+\left(\tan \alpha \right).\frac{v_0^2\sin \alpha \cos \alpha }{g}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}\end{array}$

Vậy độ cao lớn nhất của vật là tung độ của đỉnh parabol là: $y_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$.

c)

Theo phần b, độ cao lớn nhất $y_{\text{max}}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}\le \frac{v_0^2}{2g}$

Dấu “=” xảy ra khi

$\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2}{2g}$ ⇔ sin2α  = 1 ⇔ α = 90°

Như vậy góc ném α = 90°  thì độ cao lớn nhất của vật sẽ đạt giá trị lớn nhất.

d)

Ta có:

g = 9,8 m/s², v₀ = 20, α = 45°

Phương trình quỹ đạo của quả bóng là:

$y=\left(\frac{-\mathrm{9,8}}{{2.20}^2.{\cos }^{2}45°}\right)x^2+\left(\tan 45°\right)x=-\frac{\mathrm{9,8}}{400}{x}^2+x$

Quả bóng ở độ cao trên 5 m nghĩa là

$y=-\frac{\mathrm{9,8}}{400}{x}^2+x>5$

⇔ 9,8x² – 400x + 2000 < 0

Xét tam thức f(x) = 9,8x² – 400x + 2 000 có:

a = 9,8 > 0

∆ = (–400)² – 4 . 9,8 . 2 000 = 81 600 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt: x₁ ≈ 34,98; x₂ ≈ 5,83

Do đó, 9,8x² – 400x + 2 000 < 0 ⇔ 5,83 < x < 34,98

Vậy khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng (5,83; 34,98) mét.

a)

Công thức biểu thị doanh thu R là:

R(x) = nx = (1 200 000 – 1 200x).x = –1 200x² + 1 200 000x.

Vì đơn giá và số lượng máy tính bán ra luôn không âm nên điều kiện để hàm số R = R(x) xác định là x ≥ 0 và n = 1 200 000 – 1 200x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 000, do đó x ≤ 0 ≤ 1 000.

Vậy tập xác định của hàm số R = R(x) là đoạn [0; 1000].

b)

Đồ thị hàm số R(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống do a = – 1 200 < 0.

Hàm số R = R(x) đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ của đỉnh parabol là: $x=-\frac{b}{2a}=500$ và giá trị lớn nhất của doanh thu bằng R(500) = 300 000 000.

Như vậy với đơn giá 500 nghìn đồng một chiếc thì công ty đạt doanh thu cao nhất là 300 tỉ đồng và khi đó số máy tính bán được là n = 1 200 000 – 1 200 . 500 = 600 000 chiếc.

c)

Doanh thu đạt trên 200 tỉ đồng nghĩa là

R(x) = –1 200x² + 1 200 000x > 200 000 000

⇔ 1200x² – 1 200 000x + 200 000 000 < 0.

Xét tam thức f(x) = 1 200x² – 1 200 000x + 200 000 000 có:

a = 1 200 > 0

∆’ = (–600 000)² – 1 200 . 200 000 000 = 120 000 000 000 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là: x₁ ≈ 788,68 ; x₂ ≈ 211,32

Do đó, 1 200x² – 1 200 000x + 200 000 000 < 0 ⇔ 211,32 < x < 788,68 hay 212 < x < 788.

Như vậy với đơn giá từ 212 nghìn đồng đến 788 nghìn đồng thì doanh thu của công ty đạt trên 200 tỉ đồng.