Đáp án: D

Đáp án đúng là: B

Ta có: x² – 8x + 7 ≥ 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 7\end{array} \right.\).

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (– ∞; 1] ∪ [7; + ∞].

Do đó, [6; + ∞) ⊄ S.

Đáp án đúng là: B

Phương trình – x² + 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆' > 0

⇔ (m – 1)² – (– 1) . (m – 3) > 0 ⇔ m² – m – 2 > 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 2\end{array} \right.\).

Vậy m ∈ (– ∞; – 1) ∪ (2; + ∞).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] ta được

– x² + 4x = 4x² – 8x + 4.

Sau khi thu gọn ta được 5x² – 12x + 4 = 0. Từ đó tìm được x = 2 hoặc \(x = \frac{2}{5}\).

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là: A

Cách 1. Thay lần lượt các giá trị ở từng đáp án vào cho đến khi tìm được giá trị thỏa mãn.

Cách 2. Giải phương trình

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt {{x^2} - 3} \) ta được

3x² – 6x + 1 = x² – 3.

Rút gọn ta được x² – 3x + 2 = 0. Từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = 2.

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

\(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì 1 ≤ 2m + 3 ≤ 3 ⇔ – 1 ≤ m ≤ 0 ⇒ m ∈ [– 1; 0].

Suy ra a = – 1, b = 0, do đó a² + b² = 1.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 2} \right) \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 8 + 3 = - 5\).

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Thay tọa độ các điểm A, B lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.

Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chủ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M(5; – 1) đến d: 3x + 2y + 13 = 0 là

\(d\left( {M,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = 2\sqrt {13} \).

Đáp án: B

Đáp án đúng là: D

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính bằng nửa độ dài đoạn AB.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\, - 4} \right)\), suy ra \(AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 \).

Suy ra bán kính đường tròn là \(R = \frac{{AB}}{2} = 2\sqrt 2 \).

Tọa độ tâm là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 5}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1\end{array} \right.\). Suy ra I(3; 1).

Phương trình đường tròn cần lập là: (x – 3)² + (y – 1)² = 8.

Đáp án đúng là: A

Lời giải

Ta có: 1² + 5² – 2 . 1 – 4 . 5 – 4 = 0, do đó A thuộc đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại A(1; 5) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AI} = \left( {0;\, - 3} \right)\), nên có phương trình

0(x – 1) – 3(y – 5) = 0 hay y – 5 = 0.

*Phương pháp giải:

- Cho đường tròn (C): ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ hoặc $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn (C).

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ thì phương trình tiếp tuyến là: $x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$ thì phương trình tiếp tuyến là: $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

*Lý thuyết:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Từ một điểm trên đường tròn ta có duy nhất một tiếp tuyến đi qua điểm đó. Từ một điểm ngoài đường tròn, ta có hai tiếp tuyến với đường tròn đi qua điểm đó.

Xem thêm

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (lý thuyết, công thức và cách giải các dạng bài tập) 

Đáp án đúng là: B

Ta có: 16x² + 25y² = 400 \( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Do đó, elip (E) có a = 5, b = 4, nên c = 3.

Vậy (E) có trục nhỏ bằng 2b = 8, có trục lớn bằng 2a = 10, có tiêu cự bằng 2c = 6 và có các tiêu điểm F₁(– 3; 0) và F₂(3; 0). Do đó, đáp án B sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: a² = 5 và b² = 4 nên c² = a² + b² = 9, suy ra c = 3.

Vậy tiêu cự của hypebol là 2c = 6.

Đáp án:

Parabol có phương trình chính tắc là: y² = 2px (p > 0).

Vì AB = 40 cm và h = 30 cm nên A(30; 20).

Do A(30; 20) thuộc parabol nên ta có: 20² = 2p . 30 \( \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}\).

Vậy parabol có phương trình chính tắc là: y² = \(\frac{{40}}{3}x\).

Diện tích hình chữ nhật bên trong khung ảnh (không bao gồm viền) là 7 . 13 = 91 (cm²).

Vì độ rộng viền xung quanh là x cm nên x > 0 và kích thước của khung ảnh là (7 + 2x) cm × (13 + 2x) cm.

Diện tích viền khung ảnh là: (7 + 2x)(13 + 2x) – 91 = 4x² + 40x (cm²).

Theo bài ra ta có: 4x² + 40x ≤ 44.

Giải bất phương trình trên ta được x ∈ [– 11; 1]. Do x > 0 nên x ∈ (0; 1].

Vậy độ rộng viền khung ảnh lớn nhất là 1 cm.