Có $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}{a}^2.a=\frac{a^3}{3}$

Chọn đáp án D.

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy là một đa giác nội tiếp. Chính vì vậy chọn đáp án D. Vì đáy là hình thang cân nội tiếp đường tròn.

Chọn đáp án D.

Hàm số nghịch biến khi đồ thị đi xuống, tức trên các khoảng $\left(-1;0\right);\left(1;+\infty \right)$

Đối chiếu các đáp án chọn A.

Chọn đáp án A.

Phương trình tương đương với:

$$\begin{gathered} 2^{x^2-x+4}=16\iff x^2-x+4=4 \\ \iff x^2-x=0\iff x=0;x=1. \end{gathered}$$

Chọn đáp án A.

Có 

=1+3=4

Chọn đáp án B.

Có  $$\begin{gathered} z_1=-2+i;z_2=1+2i \\ \Rightarrow |z_1-z_2|=\left|-3-i\right|=\sqrt{10}. \end{gathered}$$

Chọn đáp án A.

Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm nghịch biến và đồ thị của nó đi qua điểm toạ độ (1;0).

Chọn đáp án B.

Theo đồ thị ta có 

$\Rightarrow M+m=2$

Chọn đáp án B.

Có $x{z}_1+z_2=(1+2i)+(-2+i)=-1+3i$

Chọn đáp án B.

Véctơ chỉ phương của d có giá song song với véctơ pháp tuyến của

$\left(P\right),\stackrel{\rightharpoonup }{n_P}=\left(1;-1;2\right)$

Đối chiếu các đáp án chọn A.

Chọn đáp án A.

Có $q=\frac{u_2}{u_1}=-4$

Chọn đáp án C.

Có $\int f\left(x\right)dx=x^2-cotx+C$

Chọn đáp án D.

Chọn đáp án D.

Dựa vào BBT ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=1\Rightarrow x_{CD}=1$

Chọn đáp án C.

Đk: x > 0

Có 

Chọn đáp án B.

TXĐ: $D=\left(-1;+\infty \right)\backslash \left\{2\right\}$

Đồ thị hàm số có 1 TCN là y = 0 khi x → +∞.

Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là x = 2.

Chọn đáp án C.

ĐK: $10x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 10.$ Xét hàm số

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (5;10).

Chọn đáp án C.

Có đường cao của hình chóp đồng thời là đường cao tam giác đều 

$SAB\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow V=\frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.a.2a}{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

Chọn đáp án B.

Có 

Chọn đáp án C.

Có $V=S.h=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\sqrt{2}a\right)}^2\times \sqrt{2}a=\frac{\sqrt{6}{a}^3}{3}$

Chọn đáp án A.

Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0), R₁ = 1. Mặt cầu (S’) có tâm I(2;-2;1), R₂ = 2.

Ta có $OI=R_1+R_2=3\Rightarrow \left(S\right), (S\text{'})$ tiếp xúc ngoài và có đúng 1 điểm chung.

Chọn đáp án A.

Có

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{e^x}{e^x+m}\Rightarrow f\text{'}\left(-\ln 2\right)=\frac{3}{2} \\ \iff \frac{e^{-\ln 2}}{e^{-\ln 2}+m}=\frac{3}{2}\iff m=-\frac{1}{6}. \end{gathered}$$

Chọn đáp án A.

Có

$$\begin{gathered} {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx={\int }_{-2}^{-1}f\left(x\right)dx+{\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx \\ =-S_1+S_2=-\frac{1}{2}\times 1\times 1+\frac{3+2}{2}\times 1=2 \end{gathered}$$

Chọn đáp án D.

Quay quanh AD thu được trụ có r = AB, h = AD; quay quanh AB thu được trụ có r = AD, h = AB.

Vậy $\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi A{B}^2.AD}{\pi A{D}^2.AB}=\frac{AB}{AD}=2$

Chọn đáp án D.

Có ABCD là hình bình hành nên$\stackrel{\rightharpoonup }{AD}=\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=\left(-1;3;7\right)\Rightarrow D\left(0;5;10\right)$

Chọn đáp án C.

Số cách sử dụng chìa khoá đến lần thứ ba là $n\left(\omega \right)=9\times 7\times 8$

Số cách mở được cửa ở lần thứ ba là $7\times 3\times 6$

Xác suất cần tính bằng $\frac{7\times 6\times 2}{9\times 8\times 7}=\frac{1}{6}$

Chọn đáp án A.

Có 

Chọn đáp án C.

Đáp án đúng: B

*Lời giải:

Phương trình tương đương với: $f\left(x\right)=-\frac{m}{2}$ phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt $-4<-\frac{m}{2}<2\iff -4<m<8$ Các giá trị nguyên dương là $m\in \left\{1,2...7\right\}$

*Phương pháp giải:

- dựa vào bảng biến thiên để xác định khoảng đạt 3 nghiệm phân biệt của hàm số. từ đó tìm ra các giá trị nguyên của m

* Các lý thuyết thêm & dạng bài tập về bảng biến thiên và biện luận số nghiệm dựa vào phương trình hoặc đồ thị cho trước:

Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) và y = g(x) có đồ thị (C2). Khi đó số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) sẽ bằng số giao điểm của (C1) và (C2)

1. Áp dụng vào biện luận số nghiệm phương trình

Cho phương trình f(x) = m. Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = f(x). Trong đó đường thẳng y = m tịnh tiến trên trục Oy.

2. Cách biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m

a. Cách 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số f(x) = m

- Ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng y = m xem nó cắt đồ thị y = f(x) tại mấy điểm, từ đó biện luận phương trình có 1 nghiệm; 2 nghiệm; ... hoặc vô nghiệm khi nào tùy thuộc vào khoảng giá trị của m.

b. Cách 2: Khi bài toán không cho đồ thị

- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Sau đó ta biện luận tương tự như cách 1

- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị

Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x)

Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x):

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

- Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Xét dấu y' để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

- Tìm cực trị của hàm số.

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Chú ý:

Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số – Toán lớp 12 Kết nối tri thức 

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12 

Phương trình hoành độ giao điểm:

Chọn đáp án C.

Có I(4;-2;1) là trung điểm AC. Ta có hệ điều kiện:

Đối chiếu điều kiện $a;b;c\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow a=0,b=2,c=1$và a+b+c=0+2+1=3

Chọn đáp án D.

Ta có 

+) Nếu $y^{\left(3\right)}\left(0\right)\#0$ hàm số không đạt cực trị tại x = 0 (loại).

+) Nếu 

Khi đó thử lại trực tiếp: 

+) Với $m=-2\Rightarrow y\text{'}=5x^4+8x^3(5x+8)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 0 (loại);

+) Với $m=2\Rightarrow y\text{'}=5x^4-8x^3=x^3(5x-8)$ đổi dấu từ dương qua âm khi qua x = 0 (thỏa mãn);

+) Với $m=3\Rightarrow y\text{'}=5x^4-12x^3=x^3(5x-12)$ đổi dấu từ dương qua âm khi qua x = 0 thỏa mãn.

Vậy m = 2; m = 3.

Chọn đáp án C.

Có 

Chọn đáp án A.

Gọi E là trung điểm BC, F là chân đường cao của A trên SE.

Có $\left(SC,\left(ABC\right)\right)=\angle SCA=60°\Rightarrow SA=AB\sqrt{3}$

Có 

Tam giác SAE vuông nên

Vậy $V=\frac{A{B}^2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}.SA}{3}=250a^3$

Chọn đáp án B.

Hộp hình trụ có R = h = 10. Gọi a là độ dài cạnh hình vuông (tấm bìa) đã cho. Gọi AB, CD lần lượt là cạnh hình vuông trên mặt đáy; cạnh trên mặt phía trên của hộp. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D xuống mặt đáy. Ta có $\left\{\begin{array}{l}EF=CD=AB\\ EF//CD//AB\end{array}\Rightarrow AEFB\right.$là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có bán kính R = 10.

Do đó 

Mặt khác theo pitago có $B{D}^2=B{F}^2+F{D}^2\iff a^2=B{F}^2+h^2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) có 

Chọn đáp án B.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>3\\ m>0\end{array}\right.$

Phương trình tương đương với: 

Vì $0<\frac{x-3}{3}=1-\frac{3}{x}<1,\forall x\in \left(3;+\infty \right)$ do đó phương trình có nghiệm 

$\iff 0<m-9<1\iff 9<m<10$. Vì vậy không có số nguyên nào thoả mãn.

Chọn đáp án D.

Đặt z=a+bi ta có $\left|z\right|=2\iff a^2+b^2=4\left(1\right)$

Và 

Biểu diễn (1), (2) trên cùng hệ trục toạ độ:

Chúng cắt nhau tại 4 điểm phân biệt, tức có 4 số phức thoả mãn.

Chọn đáp án C.

*Chú ý cách giải trên là nhanh nhất, các em có thể xét các trường hợp của trị tuyệt đối và giải hệ phương trình.

*Hình thoi trên hình vẽ được vẽ nhanh bằng cách đi tìm các đỉnh của nó, đó là giải các hệ phương trình 

Chọn đáp án C.

Ta có yêu cầu bài toán tương đương với:

Vậy có tất cả 7 số nguyên thoả mãn.

Chọn đáp án B.

Trên mặt đáy (ABCD) dựng hình bình hành AEBD như hinhd vẽ, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AE, B’H.

Khi đó 

Tam giác B’BK vuông nên

Chọn đáp án A.

Ta có 

Do đó 

Chọn đáp án B.

Trước hết ta tìm số điểm có toạ độ nguyên thuộc (C), ta có

$y=\frac{3x+1}{x-1}=\frac{3(x-1)+4}{x-1}=3+\frac{4}{x-1}$

Do đó $x,y\in \mathrm{\mathbb{Z}}\iff x-1\in \left\{\pm 1;\pm 2;\pm 4\right\}\Rightarrow$ có tất cả có 6 điểm có toạ độ nguyên thuộc (C). Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 trong 6 điểm đã cho, vậy có tất cả  đường thẳng thỏa mãn.

Chọn đáp án C.

Gọi $C\left(0;c;0\right),c>0$ ta có  $\iff c=6$

Vậy  Đối chiếu các đáp án thấy $S\left(-1;6;2\right)\in \left(ABC\right).$

Chọn đáp án A.

Ta có: 

Kẻ 

Chọn đáp án D.

Ta cần tìm phương trình của đường tròn:

Vì đường tròn có bán kính bằng 1 và tiếp xúc với trục hoành nên tâm của đường tròn là I(t;1), (t > 0) phương trình của đường tròn là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$.

Theo giả thiết đường tròn (C) có chung một điểm AA duy nhất với (P). nên tiếp tuyến t_A tại A của (P) cũng là tiếp tuyến của (C).

Xét điểm $A\left(a;\frac{1}{2};a^2\right),$ 

Ta có hệ điều kiện:

$\left\{\begin{array}{l}A\in \left(C\right)\\ IA\perp t_A\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn 

Diện tích hình phẳng cần tính là 

Chọn đáp án D.

Có 12 phút bằng 0,2 giờ. Chọn gốc thời gian từ lúc 7h sang t = 0.  Lúc ông A bắt đầu giảm tốc độ là 7h05 phút $\left(t=\frac{5}{60}\right)$ Ta có quãng đường kể từ lúc giảm tốc đến lúc đến cơ quan là $s={\int }_{\frac{5}{60}}^{\frac{12}{60}}v\left(t\right)dt$ chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành; đường cong v(t) và hai đường thẳng $t=\frac{5}{60};t=\frac{12}{60}$. Diện tích hình phẳng trên được tính bằng cách chia nhỏ thành các hình đã biết có

c

Chọn đáp án D.

*Chú ý các em có thể viết phương trình vận tốc xe ông A đi, tuy nhiên sẽ dài vì phải chia nhỏ v(t) theo từng khoảng thời gian.

Chọn đáp án D.

Tìm số cách xếp ngẫu nhiên:

Chọn ra 6 trong 12 học sinh rồi xếp vào bàn dài có  cách xếp;

6 học sinh còn lại xếp vào bàn tròn có (6-1)!=5! cách xếp.

Vậy có tất cả  cách xếp ngẫu nhiên.

Ta tìm số cách xếp mà A, B cùng ngồi 1 bàn và ngồi cạnh nhau:

TH1: A, B ngồi cùng bàn dài và cạnh nhau có  cách;

TH2: A, B ngồi cùng bàn tròn và cạnh nhau có  cách.

Vậy có tất cả  cách xếp thoả mãn.

Xác suất cần tính bằng 

Chọn đáp án B.

*Chú ý số cách xếp n học sinh vào 1 bàn tròn bằng (n−1)! cách.

Chọn đáp án B.

Đặt $t=2^x(t>0)$ phương trình trở thành:

Với mỗi t>0 phương trình có một nghiệm $x={\log }_{2}t$. Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình cuối có đúng 2 nghiệm phân biệt t > 0.

Vẽ hai parabol $\left(P_1\right): y=x^2-4x; \left(P_2\right): y=2x-x^2$ trên cùng hệ trục toạ độ. Yêu cầu bài toán tương đương với đường thẳng y = m cắt hai đường thẳng y=m tại đúng 2 điểm có hoành độ dương 

Vậy có 4 số nguyên thoả mãn.

Chọn đáp án A.

Ta có y'>0

Bất phương trình không thể giải trực tiếp, ta sẽ chọn x thoả mãn: 

Đối chiếu đáp án chọn C.

Chọn đáp án C.

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;-3), R = 5. Nhận thấy $A\left(2;2;1\right)\in S$. Do đó (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có

Vì vậy 

Chọn đáp án D.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $IG\perp \left(BCD\right)\iff \left(BCD\right): 3x+4z+20=0$.

Chọn đáp án D.

Gọi

 phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là 

Phương trình hoành độ giao điểm:

Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 

Vậy có tất cả 5 điểm có toạ độ nguyên thoả mãn.

Chọn đáp án A.