14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Câu 1:

17/06/2026

Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

Media VietJack

a) Tính $\hat{I D C}$ .

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\vec{I B}$ và $\vec{A B}$ .

Xem đáp án

a) Vì ABCD là hình vuông nên đường chéo DB cũng là phân giác của góc ADC.

Suy ra: $\hat{B D C} = \frac{1}{2} \hat{A D C} = \frac{1}{2} .90 ° = 45 °$

Do đó: $\hat{I D C} = \hat{B D C} = 45 °$

b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là vectơ $\vec{D I}$ .

Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là vectơ $\vec{D C}$ .

c) I là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên I là trung điểm của BD và AC.

Vì I là trung điểm của BD nên $\vec{D I} = \vec{I B}$

Vì AB // = DC nên $\vec{D C} = \vec{A B}$

Vậy hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\vec{I B}$ và $\vec{A B}$ là các vectơ $\vec{D I}$ và $\vec{D C}$ .

Câu 2:

17/06/2026

Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: $(\vec{A B}, \vec{A C})$ , $(\vec{A B}, \vec{B C})$ , $(\vec{A H}, \vec{B C})$ , $(\vec{B H}, \vec{B C})$ , $(\vec{H B}, \vec{B C})$ .

Xem đáp án

Tam giác ABC đều có H là trung điểm BC nên AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.

+ Ta có: $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C} = 60 °$ (tam giác ABC đều).

+ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC về phía C, lấy điểm D sao cho AD = BC.

Khi đó ta có $\vec{B C} = \vec{A D}$ .

Suy ra: $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D}$ .

Lại có: $\hat{C A D} = \hat{A C B} = 60 °$ (AD // BC, hai góc so le trong)

Nên $\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 60 ° + 60 ° = 120 °$ .

Do đó: $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D} = 120 °$ .

+ Do AH vuông góc với BC nên $\vec{A H} ⊥ \vec{B C}$ , do đó $(\vec{A H}, \vec{B C}) = 90 °$ .

+ Do hai vectơ $\vec{B H}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng nên $(\vec{B H}, \vec{B C}) = 0 °$

+ Do hai vectơ $\vec{H B}$ và $\vec{B C}$ ngược hướng nên $(\vec{H B}, \vec{B C}) = 180 °$ .

Câu 3:

17/06/2026

Một người dùng một lực $\vec{F}$ kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ , biết rằng góc giữa vectơ $\vec{F}$ và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\vec{F}$ , độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{d}$ ).

Media VietJack

Xem đáp án

Cường độ của lực $\vec{F}$ là 10 N.

Độ dài quãng đường là 100 m.

Góc giữa hai vectơ $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{d}$ là 45°.

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ là:

A = 10 . 100 . cos45° = $500 \sqrt{2}$ (J).

Câu 4:

17/06/2026

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng

\sqrt{2}

. Tính các tích vô hướng:

\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}

Xem đáp án

Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC, BC = $\sqrt{2}$ và $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 45 °$ .

Đặt AB = AC = a > 0.

Theo định lí Pytahgore ta có: BC² = AB² + AC²

Suy ra: ${(\sqrt{2})}^{2} = a^{2} + a^{2}$ $\Leftrightarrow 2 a^{2} = 2 \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow a = 1$ .

Do đó: AB = AC = 1.

+ Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . c o s (\vec{A B}, \vec{A C})$ = 1 . 1 . cos90° = 0.

+ Có: $\vec{A C} . \vec{B C} = (- \vec{C A}) . (- \vec{C B}) = \vec{C A} . \vec{C B}$

$= | \vec{C A} | . | \vec{C B} | . c o s (\vec{C A}, \vec{C B})$

$= C A . C B . c o s \hat{A C B}$

= 1 . $\sqrt{2}$ . cos45° = 1.

+ Và $\vec{B A} . \vec{B C} = | \vec{B A} | . | \vec{B C} | . c o s (\vec{B A}, \vec{B C})$ $= B A . B C . c o s \hat{A B C}$ $= 1. \sqrt{2} . \cos 45 ° = 1$ .

Câu 5:

17/06/2026

Hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là

12 \sqrt{2}

. Tính góc giữa hai vectơ

\vec{a}

và

\vec{b}

.

Xem đáp án

Ta có: $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 8, \vec{a} . \vec{b} = 12 \sqrt{2}$ .

Mà $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . c o s (\vec{a}, \vec{b})$

Suy ra: $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{12 \sqrt{2}}{3.8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó: $(\vec{a}, \vec{b}) = 45 °$ .

Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là 45°.

Câu 6:

17/06/2026

Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\vec{F}$ . Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Xem đáp án

Vì lực $\vec{F}$ cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật nên góc tạo bởi lực $\vec{F}$ và hướng dịch chuyển là 0°.

Vậy công sinh bởi lực F là:

A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J).

Câu 7:

17/06/2026

Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Xem đáp án

Hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc nên $(\vec{i}, \vec{j}) = 90 °$ .

Ta có: $\vec{i} . \vec{j} = | \vec{i} | . | \vec{j} | . c o s (\vec{i}, \vec{j}) = 1.1. c o s 90 ° = 0$ .

a) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2}$ $= {| \vec{i} |}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {| \vec{j} |}^{2}$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${(\vec{i} - \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2}$ $= {| \vec{i} |}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {| \vec{j} |}^{2}$ = 1² – 2 . 0 + 1² = 2.

$(\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = {\vec{i}}^{2} - {\vec{j}}^{2} = {| \vec{i} |}^{2} - {| \vec{j} |}^{2} = 1^{2} - 1^{2} = 0$

b) Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = (2 \vec{i} + 2 \vec{j}) . (3 \vec{i} - 3 \vec{j})$ $= 2 (\vec{i} + \vec{j}) .3 (\vec{i} - \vec{j}) = 6. (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = 6.0 = 0$ .

Do đó $\vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 90 °$ .

Câu 8:

17/06/2026

Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Media VietJack

Xem đáp án

Theo bài ra ta có: $| \vec{μ_{1}} | = | \vec{μ_{2}} | = 1, 6; (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) = \hat{O S O} = 120 °$ .

Do đó: $\vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} = | \vec{μ_{1}} | . | \vec{μ_{2}} | . c o s (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}})$ = 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.

Vì $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ nên để tính độ dài của $\vec{μ}$ , ta tính độ dài của vectơ tổng $\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ .

Ta có: ${(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = {\vec{μ_{1}}}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {\vec{μ_{2}}}^{2}$ $= {| \vec{μ_{1}} |}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {| \vec{μ_{2}} |}^{2}$

= 1,6² + 2 . (– 1,28) + 1,6² = 2,56

Suy ra ${| \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}} |}^{2} = {(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = 2, 56 \Rightarrow | \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}} | = 1, 6$ .

Vậy $| \vec{μ} | = | \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}} | = 1, 6$ .

Câu 9:

17/06/2026

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{C B}, \vec{A C} . \vec{B D}$

Xem đáp án

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{B A D} = 90 °, \hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = 45 °$ , $\hat{A C B} = 45 °$ , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

AC = BD = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

+) $\vec{A B} . \vec{A D} = | \vec{A B} | . | \vec{A D} | . c o s (\vec{A B}, \vec{A D})$ $= A B . A D . \cos \hat{B A D}$ = a . a . cos90° = 0.

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . c o s (\vec{A B}, \vec{A C})$ $= A B . A C . c o s \hat{B A C}$ $= a . a \sqrt{2} . c o s 45 ° = a^{2}$ .

+) $\vec{A C} . \vec{C B} = (- \vec{C A}) . \vec{C B} = - (\vec{C A} . \vec{C B})$ $= - (| \vec{C A} | . | \vec{C B} | . c o s (\vec{C A}, \vec{C B}))$ $= - (C A . C B . \cos \hat{A C B})$ $= - (a \sqrt{2} . a . c o s 45 °) = - a^{2}$

+) Do AC và BD vuông góc với nhau nên $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ , do đó: $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$ .

Câu 10:

17/06/2026

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$ .

Xem đáp án

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a² $\Rightarrow A C = a \sqrt{5}$ .

Do đó: $B D = A C = a \sqrt{5}$ .

Suy ra: $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} . a \sqrt{5} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Ta có: $co s \hat{B A O} = co s \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{a \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

a) $\vec{A B} . \vec{A O} = | \vec{A B} | . | \vec{A O} | . c o s (\vec{A B}, \vec{A O})$ $= A B . A O . \cos \hat{B A O}$ $= 2 a . \frac{a \sqrt{5}}{2} . \frac{2}{\sqrt{5}} = 2 a^{2}$ .

b) $\vec{A B} . \vec{A D} = | \vec{A B} | . | \vec{A D} | . c o s (\vec{A B}, \vec{A D})$ $= A B . A D . c o s \hat{B A D}$ = 2a . a . cos90° = 0.

Câu 11:

17/06/2026

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Xem đáp án

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB

Khi đó hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 0 °$ .

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . c o s (\vec{O A}, \vec{O B})$ $= a . b . c o s 0 ° = a b$ .

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Media VietJack

Khi đó hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Do đó:

\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . c o s (\vec{O A}, \vec{O B})

= a . b . c o s 180 ° = - a b

.

Câu 12:

17/06/2026

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}

.

Xem đáp án

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$

Do hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$

Do đó: $\vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . c o s (\vec{O A}, \vec{O B})$ $= O A . O B . c o s 180 ° = - O A . O A = - O A^{2}$

Với điểm M tùy ý ta có: $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) . (\vec{M O} + \vec{O B})$ $= {\vec{M O}}^{2} + \vec{M O} . \vec{O B} + \vec{O A} . \vec{M O} + \vec{O A} . \vec{O B}$ $= {| \vec{M O} |}^{2} + (\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{M O} + \vec{O A} . \vec{O B}$ $= M O^{2} + \vec{0} . \vec{M O} + (- O A^{2})$

Vậy $\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}$

Câu 13:

17/06/2026

Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\vec{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Xem đáp án

Lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N.

Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m.

Góc tạo bởi lực $\vec{F}$ với hướng dịch chuyển là 60°.

Vây công sinh bởi lực $\vec{F}$ là:

A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).

Câu 14:

17/06/2026

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Xem đáp án

Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Theo bài ra ta có: $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 4, \vec{a} . \vec{b} = - 6$ .

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . c o s (\vec{a}, \vec{b})$

Suy ra: $c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{- 6}{3.4} = \frac{- 1}{2}$ .

Vậy $(\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ .

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3