*Lời giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:

AM² = AC² + CM² – 2.AC.CM.cosC = 10² + 4² – 2.10.4.cos91°47'26" = 118,5

⇒ AM ≈ 10,9.

Nửa chu vi của tam giác ABC là :

 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+10+13}{2}=15,5$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15,5.(15,5-8).(15,5-10).(15,5-13)}\approx 40$

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{8.10.13}}{4.40}=6,5$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.

c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.

Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{10}^2+{13}^2-8^2}{\mathrm{2.10.13}}=\frac{205}{260}=\frac{41}{52}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = 20² + 13² – 2.20.13.$\frac{41}{52}$ = 159

⇒ BD =  $\sqrt{159}$≈ 12,6.

Vậy BD ≈ 12,6.

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA = 8² + 5² – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = $\sqrt{129}\approx 11,4$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{11,4^2+5^2-8^2}{2.11,4.5}\approx 0,798$

⇒ $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({120}^o+{37}^{o}4\text{'})={22}^{o}56\text{'}$

Vậy a ≈ 11,4; $\widehat{B}\approx {37}^{o}4\text{'}$ ; $\widehat{B}={22}^{o}56\text{'}$ .

b) Nửa chu vi tam giác ABC là :

 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{11,4+8+5}{2}=12,2$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\sqrt{12,2.(12,2-11,4).(12,2-8).(12,2-5)}=\sqrt{295,1}\approx 17,2$

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC: 

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{11,\mathrm{4.8.5}}{4.17,2}\approx 6,6$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi h_a là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là h_a = AH.

Khi đó $S=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}=\frac{2.17,2}{11,4}\approx 3$

⇒ AH = h_a ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD; AB = DC,

Và AB // CD nên $\widehat{A}+\widehat{D}={180}^o\Rightarrow \widehat{D}={180}^o-\widehat{A}$  suy ra cosD = cos(180 – A)= – cosA.

Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác ABD và ADC ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = BC² + AB² – 2.BC.AB.cosA

AC² = AD² + DC² – 2.AD.DC.cosD = BC² + AB² + 2.BC.AB.cosA

Khi đó : BD² + AC² = 2AB² + 2BC² = 2(AB² + BC²).

Vậy 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Thay AB = 4, BC = 5, BD = 7 vào biểu thức 2(AB² + BC²) = AC² + BD² ta được:

2.(4² + 5²) = AC² + 7² ⇒ AC² = 2.(4² + 5²) – 7² = 33

⇒ AC = $\sqrt{33}\approx 5,7$

Vậy AC ≈ 5,7.

a) Nửa chu vi tam giác ABC là : 

$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+20+25}{2}=30$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S=\sqrt{30.(30-15).(30-20).(30-25)}=\sqrt{22500}=150$

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 (đơn vị diện tích).

b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có diện tích tam giác ABC: 

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{15.20.25}}{4.150}=12,5$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 12,5 (đơn vị độ dài).

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}$  mà theo hệ quả định lí côsin cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2.b.c}$  ;

Vì $S=\frac{1}{2}bc\sin A$  ⇒ sinA = $\frac{2S}{bc}$

Do đó cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$

Tương tự, ta có : cotB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ ; cotC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$ ;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$ + $\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$+ $\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$= $\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

Mặt khác S = $\frac{abc}{4R}$  (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC =

$\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4.\frac{abc}{4R}}=\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}$

Vậy cotA + cotB + cotC = $\frac{R(a^2+b^2+c^2)}{abc}$

Gọi vị trí của vệ tinh là C. Khi đó ta có tam giác ABC có : AC = 370 km, BC = 350 km, $\widehat{C}=2,1^o$ .

Ta có tam giác ABP và tam giác ABQ là các tam giác vuông tại B.

Trong tam giác ABP vuông tại B ta có:

tan $\widehat{BPA}$ = $\frac{AB}{PB}=\frac{AB}{PQ+QB}=\frac{AB}{300+QB}$ .

Suy ra : tan35° = $\frac{AB}{300+QB}$ ⇒ AB = (300 + QB).tan35°            (1)

Trong tam giác ABQ vuông tại B ta có: tan $\widehat{BQA}$ = $\frac{AB}{QB}$

Suy ra : tan48° =  $\frac{AB}{QB}$ ⇒ AB = QB.tan48°                      (2)

Từ (1) và (2) suy ra : (300 + QB).tan35°  = QB.tan48°

⇒ QB = $\frac{300.\tan {35}^o}{\tan {48}^o-\tan {35}^o}$  ≈ 511,8.

⇒ AB = QB.tan48^o  ≈ 511,8.tan 48° ≈ 568,4.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 568,4 m.

Do phương nằm ngang hợp với phương thẳng đứng của tháp góc 90° nên hai tam giác DC₁A₁ và DC₁B₁ là hai tam giác vuông tại C₁.

Tam giác DC₁A₁ có : tan49° = $\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1}$

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49°         (1).

Tam giác DC₁B₁ có :

tan35° =  $\frac{D{C}_1}{C_1{B}_1}=\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1+A_1{B}_1}=\frac{D{C}_1}{C_1{A}_1+12}$

⇒ DC₁ = (C₁A₁ + 12). tan35° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°              (2).

Từ (1) và (2) suy ra: C₁A₁tan49° = C₁A₁ tan35° + 12tan35°

⇒ C₁A₁ = $\frac{12\tan {35}^o}{\tan {49}^o-\tan {35}^o}$≈ 18,7.

⇒ DC₁ = C₁A₁tan49° ≈ 18,7.tan49° ≈ 21,5.

Mà DC = DC₁ + C₁C = 21,5 + 1,2 = 22,7.

Vậy chiều cao của tháp CD khoảng 22,7 m.