a) x² + y² + 2x + 2y – 9 = 0 (1)

Phương trình (1) có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = – 1; b = – 1; c = – 9.

Ta có a² + b² – c = (– 1)² + (– 1)² – (– 9) = 11 > 0.

Vậy (1) là phương trình đường tròn tâm I(– 1; – 1) bán kính R = $\sqrt{11}$.

b) x² + y² – 6x – 2y + 1 = 0 (2).

Phương trình (2) có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = 3; b = 1; c = 1.

Ta có a² + b² – c = 3² + 1² – 1 = 9 > 0.

Vậy (2) là phương trình đường tròn tâm I(3; 1) bán kính R = 3.

c) x² + y² + 8x + 4y + 2022 = 0 (3).

Phương trình (3) có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = – 4; b = – 2; c = 2022.

Ta có a² + b² – c = (– 4)² + (– 2)² – 2022 = – 2002 < 0.

Vậy (3) không là phương trình đường tròn.

d) 3x² + 2y² + 5x + 7y – 1 = 0 (4).

Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì không thể đưa về dạng (x – a)² + (y – b)² = R² hoặc dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

a) Đường trong (C) tâm O(0; 0) và có bán kính R = 9 có phương trình là:

x² + y² = 81

b) Đường tròn (C) có đường kính AB với A(1; l) và B(3; 5).

Khi đó đường tròn (C) có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = $\frac{AB}{2}$ 

Gọi toạ độ tâm I(x; y).

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1+3}{2}=2\\ y=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1+5}{2}=3\end{array}\right.$  suy ra I(2; 3)

Ta lại có: AB = $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ mà $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ suy ra $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$

Vậy bán kính R = $\sqrt{5}$.

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = $\sqrt{5}$ là:

(x – 2)² + (y – 3)² = 5.

c) Đường tròn (C) có tâm M(2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x – 4y + 9 = 0

Vậy đường tròn (C) có bán kính R = d_{(M, ∆)}.

Ta có d_{(M, ∆)} = $\frac{\left|3.2-4.3+9\right|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=\frac{3}{5}$  suy ra bán kính R = $\frac{3}{5}$.

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm M(2; 3) và bán kính R = $\frac{3}{5}$ là:

(x – 2)² + (y – 3)² = $\frac{9}{25}$ .

d) Đường tròn (C) có tâm I(3; 2) và đi qua điểm B(7; 4).

Suy ra đường tròn (C) có bán kính R = IB.

Ta có IB = $\left|\overrightarrow{IB}\right|$  mà $\overrightarrow{IB}=(4;2)$ suy ra $\left|\overrightarrow{IB}\right|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$

Phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 2) và bán kính R = $2\sqrt{5}$  là:

(x – 3)² + (y – 2)² = 20.

a) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3)

Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\overrightarrow{AI}=(x-1;y-4);\overrightarrow{BI}=(x;y-1);\overrightarrow{CI}=(x-4;y-3)$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}A{I}^2=B{I}^2\\ A{I}^2=C{I}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{(x-1)}^2+{(y-4)}^2=x^2+{(y-1)}^2\\ {(x-1)}^2+{(y-4)}^2={(x-4)}^2+{(y-3)}^2\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+1+y^2-8y+16=x^2+y^2-2y+1\\ x^2-2x+1+y^2-8y+16=x^2-8x+16+y^2-6y+9\end{array}\right.$ 

$\iff \left\{\begin{array}{l}-2x-6y=-16\\ 6x-2y=8\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$ 

Suy ra I(2; 2)

Bán kính R = IB ta có IB = $\left|\overrightarrow{IB}\right|$  mà $\overrightarrow{IB}=(-2;-1)$ suy ra $\left|\overrightarrow{IB}\right|=\sqrt{{(-2)}^2+{(-1)}^2}=\sqrt{5}$

Vậy phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; 2) và bán kính R = $\sqrt{5}$ là:

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 5.

b) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR với O(0; 0), P(16; 0), R(0; 12).

Ta có: $\overrightarrow{OP}\left(16;0\right);\overrightarrow{OR}\left(0;12\right)$ ⇒ $\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{OR}$ = 16.0 + 0.12 = 0.

⇒ OP ⊥ OR.

Do đó tam giác OPR vuông tại O nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR là trung điểm của PR và bán kính R = OI.

Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{x_P+x_R}{2}=\frac{16+0}{2}=8\\ y=\frac{y_P+y_R}{2}=\frac{0+12}{2}=6\end{array}\right.$ . Do đó tâm I(8; 6)

Bán kính R = OI mà $\overrightarrow{OI}=(8;6)$ suy ra $\left|\overrightarrow{OI}\right|=\sqrt{8^2+6^2}=10$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OPR có tâm I(8; 6) bán kính R = 10 là: (x – 8)² + (y – 6)² = 100.

a) Thay toạ độ điểm A(0; 5) vào phương trình đường tròn ta được:

0² + 5² – 6.0 – 2.5 – 15 = 0 (thoả mãn phương trình đường tròn).

Vậy điểm A(0; 5) thuộc đường tròn (C).

b) Ta có điểm A thuộc đường tròn (C).

Xét đường tròn (C): x² + y² – 6x – 2y – 15 = 0 ⇔ (x – 3)² + (y – 1)² = 5²

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và R = 5.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(0; 5) là:

(3 – 0)(x – 0) + (1 – 5)(y – 5) = 0.

$\iff$ 3x – 4y + 20 = 0

c) Vì phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 8x + 6y + 99 = 0 nên có dạng ∆: 8x + 6y + c = 0.

Lại có ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d_{(I, ∆)} = R.

Ta có $d_{(I,\Delta )}=\frac{\left|8.3+6.1+c\right|}{\sqrt{8^2+6^2}}=5\iff$ |30 + c| = 50.

Suy ra 30 + c = 50 hoặc 30 + c = – 50.

Với 30 + c = 50 $\iff$ c = 20

Phương trình ∆: 8x + 6y + 20 = 0 ⇔ 4x + 3y + 10 = 0.

Với 30 + c = – 50 $\iff$ c = – 80

Phương trình ∆: 8x + 6y – 80 = 0 ⇔ 4x + 3y – 40 = 0.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là: 4x + 3y + 10 = 0 hoặc 4x + 3y – 40 = 0

Phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox, Oy và đi qua điểm A(2; 1)

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính là R.

(C) tiếp xúc với trục Ox suy ra R = d_{(I, Ox)} = $\left|b\right|$ .

(C) tiếp xúc với trục Oy suy ra R = d_{(I, Oy)} = $\left|a\right|$.

Suy ra $\left|a\right|$ = $\left|b\right|$

Vậy a = b hoặc a = - b

Trường hợp 1. a = b thì I(a; a) bán kính R = |a|

Ta có A $\in$ (C) $\Rightarrow$ IA = R ⇔ IA² = R²

⇔ (2 – a)² + (1 – a)² = a²

⇔ 4 – 4a + a² + 1 – 2a + a² = a²

⇔ a² – 6a + 5 = 0

⇔ a = 1 hoặc a = 5

Với a = 1 thì đường tròn (C) có tâm I(1; 1) bán kính R = 1 có phương trình là:

(x – 1)² + (y – 1)² = 1

Với a = 5 thì đường tròn (C) có tâm I(5; 5) bán kính R = 5 có phương trình là:

(x – 5)² + (y – 5)² = 25

Trường hợp 2. a = – b thì I(a; – a) bán kính R = $\left|a\right|$

Ta có A $\in$ (C) $\Rightarrow$ IA = R $\iff$ IA² = R²

⇔ (2 – a)² + (1 + a)² = a²

⇔ 4 – 4a + a² + 1 + 2a + a² = a²

⇔ a² – 2a + 5 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Vậy có 2 đường tròn thoả mãn bài toán là (x – 1)² + (y – 1)² = 1 hoặc (x – 5)² + (y – 5)² = 25.

a) Thay toạ độ điểm A(0; 5) vào phương trình đường tròn ta được:

0² + 5² – 6.0 – 2.5 – 15 = 0 (thoả mãn phương trình đường tròn).

Vậy điểm A(0; 5) thuộc đường tròn (C).

b) Ta có điểm A thuộc đường tròn (C).

Xét đường tròn (C): x² + y² – 6x – 2y – 15 = 0 ⇔ (x – 3)² + (y – 1)² = 5²

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và R = 5.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(0; 5) là:

(3 – 0)(x – 0) + (1 – 5)(y – 5) = 0

$\iff$ 3x – 4y + 20 = 0

c) Vì phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 8x + 6y + 99 = 0 nên có dạng ∆: 8x + 6y + c = 0.

Lại có ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d_{(I, ∆)} = R.

Ta có $d_{(I,\Delta )}=\frac{\left|8.3+6.1+c\right|}{\sqrt{8^2+6^2}}=5\iff$ |30 + c| = 50.

Suy ra 30 + c = 50 hoặc 30 + c = – 50.

Với 30 + c = 50 $\iff$ c = 20

Phương trình ∆: 8x + 6y + 20 = 0 ⇔ 4x + 3y + 10 = 0.

Với 30 + c = – 50 $\iff$ c = – 80

Phương trình ∆: 8x + 6y – 80 = 0 ⇔ 4x + 3y – 40 = 0.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thoả mãn bài toán là: 4x + 3y + 10 = 0 hoặc 4x + 3y – 40 = 0