Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 1: Elip

Bài 5 trang 48 Chuyên đề Toán 10:

Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Nhìn hình vẽ ta thấy:

– Độ dài trục lớn của elip bằng 16 $\iff$ 2a = 16 $\iff$ a = 8 (m).

– Độ dài bán trục bé của elip bằng 3 $\iff$ b = 3 (m).

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ hay $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1.$

b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên để bức tượng sáng rõ nhất ta sẽ đặt bức tượng ở tiêu điểm còn lại. Toạ độ của vị trí này là (c; 0).

Có :

$$\begin{gathered} c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{8^2-3^2} \\ =\sqrt{64-9}=\sqrt{55}. \end{gathered}$$

Vì tượng cao 4 m nên ta cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ là $\left(\sqrt{55};-4\right).$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (Hình 2)...

Hoạt động 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (Hình 3)...

Hoạt động 3 trang 41 Chuyên đề Toán 10: a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở...

Luyện tập 1 trang 41 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip, biết A₁(– 4; 0) và B₂(0; 2) là hai đỉnh của nó...

Hoạt động 4 trang 41 Chuyên đề Toán 10: Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật...

Luyện tập 2 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$...

Hoạt động 5 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF₁ + MF₂ = 2a...

Hoạt động 6 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF₁ + MF₂ = 2a, chứng minh: a) MF₁ – MF₂ = $\frac{2c}{a}$x...

Luyện tập 3 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Cho elip (E): $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ với tiêu điểm $F_2(\sqrt{5};0)$...

Hoạt động 7 trang 45 Chuyên đề Toán 10: Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0). Xét đường thẳng...

Luyện tập 4 trang 46 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm F₂(5; 0) và đường chuẩn...

Hoạt động 8 trang 46 Chuyên đề Toán 10: Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0). Xét đường tròn...

Hoạt động 9 trang 47 Chuyên đề Toán 10: Vẽ $\mathrm{elip}\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$...

Bài 1 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn bằng 6...

Bài 2 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau: a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần...

Bài 3 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời...

Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E)...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2: Nhị thức newton

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Ba đường conic