Giải các hệ phương trình sau: x căn 5 - (1 + căn 3)y = 1 và (1 - căn 3)x +y căn 5 = 1

Giải Toán 9 Ôn tập chương 3

Video Giải Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 41 trang 27 SGK Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{5}-\left(1+\sqrt{3}\right)y=1\\ \left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2}\\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1\end{array}\right.$

Lời giải:

a)

$\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{5}-\left(1+\sqrt{3}\right)y=1\text{ (1)}\\ \left(1-\sqrt{3}\right)x+y\sqrt{5}=1\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ (1) rút ra được: x =  $\frac{1+\left(1+\sqrt{3}\right)y}{\sqrt{5}}$ (*)

Thay (*) vào phương trình (2) ta được:

$$\begin{gathered} \frac{1+\left(1+\sqrt{3}\right)y}{\sqrt{5}}.\left(1-\sqrt{3}\right)+y\sqrt{5}=1 \\ \iff \frac{1-\sqrt{3}+\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)y+5y}{\sqrt{5}}=1 \\ \iff 1-\sqrt{3}-2y+5y=\sqrt{5} \\ \iff 3y=\sqrt{3}+\sqrt{5}-1 \\ \iff y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-1}{3} \end{gathered}$$

Thay $y=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-1}{3}$ vào (*) ta được:

$$\begin{gathered} x=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[1+\left(1+\sqrt{3}\right).\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}-1}{3}\right] \\ =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}+1}{3} \end{gathered}$$

b)

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=\sqrt{2}\\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1\end{array}\right.$

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ne -1\\ y\ne -1\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{x+1}=u\\ \frac{y}{y+1}=v\end{array}\right.$ khi đó hệ trở thành: $\left\{\begin{array}{l}2u+v=\sqrt{2}\\ u+3v=-1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}2u+v=\sqrt{2}\\ 2u+6v=-2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left(2u+v\right)-\left(2u+6v\right)=\sqrt{2}+2\\ u+3v=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2u+v-2u-6v=\sqrt{2}+2\\ u=-1-3v\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-5v=\sqrt{2}+2\\ u=-1-3v\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}v=\frac{\sqrt{2}+2}{-5}\\ u=-1-3v\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}u=-1-3\frac{\sqrt{2}+2}{-5}\\ v=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}u=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}\\ v=\frac{-2-\sqrt{2}}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay $u=\frac{x}{x+1};v=\frac{y}{y+1}$ ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{x+1}=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}\\ \frac{y}{y+1}=\frac{-2-\sqrt{2}}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}\left(x+1\right)\\ y=\frac{-2-\sqrt{2}}{5}\left(y+1\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}x+\frac{3\sqrt{2}+1}{5}\\ y=\frac{-2-\sqrt{2}}{5}y+\frac{-2-\sqrt{2}}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\left(1-\frac{3\sqrt{2}+1}{5}\right)x=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}\\ \left(1-\frac{-2-\sqrt{2}}{5}\right)y=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4-3\sqrt{2}}{5}x=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}\\ \frac{7+\sqrt{2}}{5}y=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3\sqrt{2}+1}{5}:\frac{4-3\sqrt{2}}{5}\\ y=\frac{-\sqrt{2}-2}{5}:\frac{7+\sqrt{2}}{5}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{22+15\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{-12-5\sqrt{2}}{47}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 25 Toán 9 Tập 2: Sau khi giải hệ...

Câu hỏi 2 trang 25 Toán 9 Tập 2: Dựa vào minh họa hình học (xét vị trí tương đối của hai đường thẳng xác định bởi...

Câu hỏi 3 trang 25 Toán 9 Tập 2: Khi giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn...

Bài 40 trang 27 Toán 9 Tập 2: Giải các hệ phương trình sau và minh họa bằng hình học...

Bài 42 trang 27 Toán 9 Tập 2: Giải hệ...

Bài 43 trang 27 Toán 9 Tập 2: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km...

Bài 44 trang 27 Toán 9 Tập 2: Một vật có khối lượng 124g...

Bài 45 trang 27 Toán 9 Tập 2: Hai đội xây dựng làm chung một công việc...

Bài 46 trang 27 Toán 9 Tập 2: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc...