Giải bài tập trang 63, 64 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 63, 64 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 63 Chuyên đề Toán 10: Xác định tâm sai, toạ độ một tiêu điểm và phương trình đường chuần tương ứng của mỗi đường conic sau:

a) $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$;

b) $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$;

c) $y^2=\frac{1}{2}x$.

Lời giải:

a) Đây là một elip.

Có a2 = 5, b2 = 2

$$\begin{gathered} \Rightarrow a=\sqrt{5},b=\sqrt{2}, \\ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5-2}=\sqrt{3}, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}, \\ \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}. \end{gathered}$$

Suy ra elip có tiêu điểm F₁$\left(-\sqrt{3};0\right)$, đường chuẩn Δ₁: x = $-\frac{5\sqrt{3}}{3}$ và tâm sai e = $\frac{\sqrt{15}}{5}.$

b) Đây là một hypebol.

Có a2 = 12, b2 = 4 

$$\begin{gathered} \Rightarrow a=2\sqrt{3},b=2, \\ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} e=\frac{c}{a}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}, \\ \frac{a}{e}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=3. \end{gathered}$$

Suy ra hypebol có tiêu điểm F₁$\left(-4;0\right)$, đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = $\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

c) Đây là một parabol.

CÓ 2p = $\frac{1}{2}$, suy ra p = $\frac{1}{4}$

Suy ra parabol có tiêu điểm F$\left(\frac{1}{8};0\right),$ đường chuẩn Δ: $x=-\frac{1}{8}$ và tâm sai e = 1.

Vận dụng 2 trang 64 Chuyên đề Toán 10: Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol?

Tên	Tâm sai
Trái Đất	0,0167
Sao chổi Halley	0,9671
Sao chổi Great Southern of 1887	1,0
Vật thể Oumuamua	1,2

Lời giải:

Vì quỹ đạo của Trái Đất có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Halley có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Great Southern of 1887 có tâm sai bằng 1 nên là đường parabol.

Vì quỹ đạo của Vật thể Oumuamua có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

Bài 1 trang 64 Chuyên đề Toán 10: Xác định tâm sai, toạ độ một tiêu điểm và phương trình đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:

a) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$;

b) $\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{10}=1$;

c) $y^2$ = x.

Lời giải:

a) Đây là một elip.

Có a2 = 9, b2 = 7 

$$\begin{gathered} \Rightarrow a=3,b=\sqrt{7}, \\ c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-7}=\sqrt{2}, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{3}, \\ \frac{a}{e}=\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}. \end{gathered}$$

Suy ra elip có tiêu điểm F₁$\left(-\sqrt{2};0\right)$, đường chuẩn Δ₁: x = $-\frac{9\sqrt{2}}{2}$ và tâm sai e = $\frac{\sqrt{2}}{3}.$

b) Đây là một hypebol.

Có a2 = 15, b2 = 10 

$$\begin{gathered} \Rightarrow a=\sqrt{15},b=\sqrt{10}, \\ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{15+10}=\sqrt{25}=5, \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} e=\frac{c}{a}=\frac{5}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{3}, \\ \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{15}}{\frac{\sqrt{15}}{3}}=3. \end{gathered}$$

Suy ra hypebol có tiêu điểm F₁(–5; 0), đường chuẩn Δ₁: x = –3 và tâm sai e = $\frac{\sqrt{15}}{3}.$

c) Đây là một parabol.

CÓ 2p = 1, suy ra p = $\frac{1}{2}$

Suy ra parabol có tiêu điểm F$\left(\frac{1}{4};0\right),$ đường chuẩn Δ: $x=-\frac{1}{4}$ và tâm sai e = 1.

Bài 2 trang 64 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình của conic có tâm sai e = 1, tiêu điểm F(1; 0) và đường chuẩn Δ: x + 1 = 0.

Lời giải:

Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d\left(M;\Delta \right)}=e$

Vậy phương trình của conic đã cho là y2 = 4x.

Bài 3 trang 64 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình của conic (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tiêu điểm F(8; 0), đường chuẩn Δ: x – 2 = 0 và tâm sai e = 2;

b) (C) có tiêu điểm F(–4; 0), đường chuẩn $\Delta :x+\frac{25}{4}=0$ và tâm sai $e=\frac{4}{5}$.

Lời giải:

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: 

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{48}=1.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d\left(M;\Delta \right)}=e$

Vậy phương trình của conic đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$

Bài 4 trang 64 Chuyên đề Toán 10: Quỹ đạo của các vật thể sau đây là những đường conic. Những đường này là elip, parabol hay hypebol?

Tên	Tâm sai
Sao Hoả	0,0934
Mặt Trăng	0,0549
Sao Thuỷ	0,2056
Sao chổi Ikeya-Seki	0,9999
C/2019 Q4	3,5

Lời giải:

Vì quỹ đạo của Sao Hoả có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Mặt Trăng có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao Thuỷ có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo của Sao chổi Ikeya-Seki có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Vì quỹ đạo C/2019 Q4 có tâm sai lớn hơn 1 nên là đường hypebol.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 60, 61 Chuyên đề Toán 10 Bài 4