Giải bài tập trang 59 Chuyên đề Toán 10 Bài 3 - Cánh diều

Giải bài tập trang 59 Chuyên đề Toán 10 Bài 3 - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 59 Chuyên đề Toán 10:

Vẽ parabol y² = 2px biết tiêu điểm của parabol là $F\left(\frac{1}{4};0\right).$

Lời giải:

Parabol có tiêu điểm $F\left(\frac{1}{4};0\right).$ $\Rightarrow \frac{p}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow p=\frac{1}{2}\Rightarrow$ (P): y² = x.

Bước 1. Lập bảng giá trị

x	0	1	1	4	4	9	9
y	0	–1	1	–2	–2	–3	3

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bưóc 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

Bài 1 trang 59 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của parabol trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiêu điểm là F₂(5; 0);

b) Phương trình đường chuẩn là x = –4;

c) Parabol đi qua điểm A(4; 9).

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p > 0).

Thep đề bài, ta có: Parabol có tiêu điểm là F₂(5; 0) $\Rightarrow \frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10.$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 20x.

b) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p > 0).

Thep đề bài, ta có: Parabol có đường chuẩn là x = –4 $\Rightarrow \frac{p}{2}=4\Rightarrow p=8.$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 16x.

c) Gọi phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 2px (p > 0).

Thep đề bài, ta có: Parabol đi qua điểm A (4; 9) $\Rightarrow 9^2=2p.4\Rightarrow p=\frac{81}{8}.$

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = $\frac{81}{4}$x.

Bài 2 trang 59 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol có phương trình chính tắc y² = 8x.

a) Xác định tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol.

b) Vẽ parabol.

Lời giải:

a) Parabol có phương trình chính tắc y² = 8x $\iff$ 2p = 8 $\iff$ p = 4 $\Rightarrow \frac{p}{2}=2.$

Do đó:

– Toạ độ tiêu điểm của parabol là F(2; 0).

– Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

b)

Bước 1. Lập bảng giá trị

x	0	0,5	0,5	2	2	4,5	4,5
y	0	–2	2	–4	4	–6	6

Chú ý rằng ứng với mỗi giá trị dương của x có hai giá trị của y đối nhau.

Bưóc 2. Vẽ các điểm cụ thể mà hoành độ và tung độ được xác định như trong bảng giá trị.

Bước 3. Vẽ parabol bên phải trục Oy, đỉnh O, trục đối xứng là Ox, parabol đi qua các điểm được vẽ ở Bước 2.

Bài 3 trang 59 Chuyên đề Toán 10:

Các vật liệu xây dựng đều có hệ số dãn nở. Vì thế, khi đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định một đầu dầm, đầu còn lại đặt trên một con lăn có thể di động được nhằm giải quyết sự dãn nở của vật liệu. Hình 21 minh hoạ một dầm cầu được đặt ở hai bờ kênh, giới hạn bởi hai cung parabol có cùng trục đối xúmg. Người ta thiết kế các thanh giằng nối hai cung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau và cách đều hai đầu dầm.

Tính tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng.

Lời giải:

Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).

Ta cần tính các đoạn OO', A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂.

Dễ thấy OO' = AA' = BB' = CC' = 9.

– Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:

Giả sử parabol (P) có phương trình: y² = 2px (p > 0).

Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên 40² = 2p . 21 $\Rightarrow 2p=\frac{1600}{21}.$

Vậy phương trình của (P) là $y^2=\frac{1600}{21}x.$

+) Với y = 10 ta có

$$\begin{gathered} {10}^2=\frac{1600}{21}x\Rightarrow x=1,3125 \\ \Rightarrow A{A}_1=1,3125. \end{gathered}$$

+) Với y = 20 ta có 

$$\begin{gathered} {20}^2=\frac{1600}{21}x \\ \Rightarrow x=5,25\Rightarrow B{B}_1=5,25. \end{gathered}$$

+) Với y = 30 ta có 

$$\begin{gathered} {30}^2=\frac{1600}{21}x \\ \Rightarrow x=11,8125\Rightarrow C{C}_1=11,8125. \end{gathered}$$

– Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':

Giả sử parabol (P') có phương trình: y'² = 2px (p > 0).

Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên 40² = 2p . 12 $\Rightarrow 2p=\frac{400}{3}.$

Vậy phương trình của (P') là $y{\text{'}}^2=\frac{400}{3}x.$

+) Với y' = 10 ta có ${10}^2=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=0,75\Rightarrow A\text{'}{A}_2=0,75.$

+) Với y' = 20 ta có ${20}^2=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=3\Rightarrow B\text{'}{B}_2=3.$

+) Với y' = 30 ta có

$$\begin{gathered} {30}^2=\frac{400}{3}x\Rightarrow x=6,75 \\ \Rightarrow C\text{'}{C}_2=6,75. \end{gathered}$$

– Tính các đoạn A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂:

A₁A₂ = AA₂ – AA₁ = (AA' + A'A₂) – AA₁ = (9 + 0,75) – 1,3125 = 8,3475.

B₁B₂ = BB₂ – BB₁ = (BB' + B'B₂) – BB₁ = (9 + 3) – 5,25 = 6,75.

C₁C₂ = CC₂ – CC₁ = (CC' + C'C₂) – CC₁ = (9 + 6,75) – 11,8125 = 3,9375.

Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là:

OO' + 2A₁A₂ + 2B₁B₂ + 2C₁C₂

= 9 + 2 . 8,3475 + 2 . 6,75 + 2 . 3,9375

= 47,07.

Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 57, 58 Chuyên đề Toán 10 Bài 3