Giải bài tập trang 57, 58 Chuyên đề Toán 10 Bài 3 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 57, 58 Chuyên đề Toán 10 Bài 3 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 1 trang 57 Chuyên đề Toán 10: Chứng tỏ rằng nếu điểm M(x₀; y₀) nằm trên parabol (P) thì điểm M'(x₀; –y₀) cũng nằm trên parabol (P).

Lời giải:

M(x₀; y₀) thuộc (P) thì $y_0^2=2p{x}_0.$

Có ${\left(-y_0\right)}^2=y_0^2=2p{x}_0$ nên M'(x₀; –y₀) cũng thuộc (P).

Thực hành 1 trang 58 Chuyên đề Toán 10: Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn và trục đối xứng của các parabol sau:

a) (P₁): y² = 2x;

b) (P₂): y² = x;

c) $\left(P_3\right):y^2=\frac{1}{5}x$.

Lời giải:

a) Có 2p = 2, suy ra p = 1.

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F$\left(\frac{1}{2};0\right).$

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x = $-\frac{1}{2}.$

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

b) Có 2p = 1, suy ra p = $\frac{1}{2}.$

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F$\left(\frac{1}{4};0\right).$

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x = $-\frac{1}{4}$

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

c) Có 2p = $\frac{1}{5}$ suy ra p = $\frac{1}{10}$

Toạ độ tiêu điểm của parabol là F$\left(\frac{1}{20};0\right).$

Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).

Phương trình đường chuẩn của parabol là x = $-\frac{1}{20}$

Trục đối xứng của parabol là trục Ox.

Vận dụng 1 trang 58 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d: x + 2 = 0. Viết phương trình của đường (L) là tập hợp các tâm J(x; y) của các đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.

Lời giải:

Có JA = $\sqrt{{\left(2-x\right)}^2+{\left(0-y\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(2-x\right)}^2+y^2}.$

Khoảng cách từ J đến d là: d(J; d) = |x + 2|.

Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d $\iff$ JA = d(J; d)

Vậy (L) là một parabol có phương trình y² = 8x.

Khám phá 2 trang 58 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) trên parabol (P): y² = 2px (Hình 2). Tính khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm F của (P).

Lời giải:

Vì M thuộc (P) nên y² = 2px.

Khoảng cách từ điểm M đến tiêu điểm F là: MF = $\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}$

$$\begin{gathered} =\sqrt{x^2-px+\frac{p^2}{4}+y^2} \\ =\sqrt{x^2-px+\frac{p^2}{4}+2px} \\ =\sqrt{x^2+px+\frac{p^2}{4}} \end{gathered}$$

$=\sqrt{{\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|=x+\frac{p}{2}$ (vì x + $\frac{p}{2}$ > 0).

Thực hành 2 trang 58 Chuyên đề Toán 10: Tính bán kính qua tiêu của điểm dưới đây trên parabol tương ứng:

a) Điểm M₁(1; –4) trên (P₁): y² = 16x;

b) Điểm M₂(3; –3) trên (P₂): y² = 3x;

c) Điểm M₃(4; 1) trên $\left(P_3\right)$: $y^2=\frac{1}{4}x$.

Lời giải:

a) Có 2p = 16, suy ra p = 8.

Bán kính qua tiêu của M₁ là: 

b) Có 2p = 3, suy ra p = $\frac{3}{2}$

Bán kính qua tiêu của M₂ là:

c) Có 2p = $\frac{1}{4}$ suy ra p = $\frac{1}{8}$

Bán kính qua tiêu của M₃ là:

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 59 Chuyên đề Toán 10 Bài 3