Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dưới đây

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 11 trang 7 SBT Toán 9 Tập 2: Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dưới đây, hãy tìm mối liên hệ giữa các hằng số a, b, c và các hằng số a’, b’, c’ để hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.$

a) Có nghiệm duy nhất;

b) Vô nghiệm

c) Vô số nghiệm.

Áp dụng:

a) Lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất.

b) Lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm.

c) Lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.

Lời giải:

Xét trườn hợp $a\text{'}\ne 0;b\text{'}\ne ;c\text{'}\ne 0$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}by=-ax+c\\ b\text{'}y=-a\text{'}x+c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{-a}{b}x+\frac{c}{b}\\ y=\frac{-a\text{'}}{b\text{'}}x+\frac{c\text{'}}{b\text{'}}\end{array}\right.$

a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau:

$\Rightarrow \frac{a}{b}\ne \frac{a\text{'}}{b\text{'}}\Rightarrow \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

b) Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau:

 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{b}=\frac{a\text{'}}{b\text{'}}\\ \frac{c}{b}\ne \frac{c\text{'}}{b\text{'}}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}\ne \frac{c}{c\text{'}}$(nếu $c\text{'}\ne 0$) hoặc $\frac{a\text{'}}{a}=\frac{b\text{'}}{b}\ne \frac{c\text{'}}{c}$(nếu $c\ne 0$)

c) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc và tung độ gốc bằng nhau:

 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{b}=\frac{a\text{'}}{b\text{'}}\\ \frac{c}{b}=\frac{c\text{'}}{b\text{'}}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}$(nếu $c\text{'}\ne 0$) hoặc $\frac{a\text{'}}{a}=\frac{b\text{'}}{b}=\frac{c\text{'}}{c}$(nếu $c\ne 0$)

+ Nếu $a=0;a\text{'}\ne 0$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{c}{b}\\ y=\frac{-a\text{'}}{b\text{'}}x+\frac{c\text{'}}{b\text{'}}\end{array}\right.$ (với $b\text{'}\ne 0$)

Hoặc  $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{c}{b}\\ x=\frac{c\text{'}}{a\text{'}}\end{array}\right.$(với b’ = 0)

Vì hai đường thẳng $y=\frac{-a\text{'}}{b\text{'}}x+\frac{c\text{'}}{b\text{'}}$ và $x=\frac{c\text{'}}{a\text{'}}$ luôn cắt trục hoành còn đường thẳng $y=\frac{c}{b}$ song song hoặc tùng với trục hoành nên chúng luôn cắt nhau. Vậy hệ phương trình luôn có một nghiệm duy nhất

+ Nếu a = a’ = 0

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{c}{b}\\ y=\frac{c\text{'}}{b\text{'}}\end{array}\right.$

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng này trùng nhau, nghĩa là:

$\frac{c}{b}=\frac{c\text{'}}{b\text{'}}\Rightarrow \frac{c}{c\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}$

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là:

$\frac{c}{b}\ne \frac{c\text{'}}{b\text{'}}\Rightarrow \frac{c}{c\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

+ Nếu b = 0;$b\text{'}\ne 0$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{a}\\ y=\frac{-a\text{'}}{b\text{'}}x+\frac{c\text{'}}{b\text{'}}\end{array}\right.$  (với $a\text{'}\ne 0$)

Hoặc $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{a}\\ y=\frac{c\text{'}}{b\text{'}}\end{array}\right.$ (với a’ = 0)

Vì hai đường thẳng $y=\frac{-a\text{'}}{b\text{'}}x+\frac{c\text{'}}{b\text{'}}$ và $y=\frac{c\text{'}}{b\text{'}}$ luôn luôn cắt trục tung còn đường thẳng $x=\frac{c}{a}$ song song hoặc trùng với trục tung nên chúng luôn cắt nhau.

Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

+ Nếu b = b’ = 0

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{c}{a}\\ x=\frac{c\text{'}}{a\text{'}}\end{array}\right.$

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau, nghĩa là:

$\frac{c}{a}=\frac{c\text{'}}{a\text{'}}\Rightarrow \frac{c}{c\text{'}}=\frac{a}{a\text{'}}$

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là:

$\frac{c}{a}\ne \frac{c\text{'}}{a\text{'}}\Rightarrow \frac{c}{c\text{'}}\ne \frac{a}{a\text{'}}$

Áp dụng:

a) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=7\\ x-y=6\end{array}\right.$

Vì $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{2}{1}\ne \frac{3}{-1}=\frac{b}{b\text{'}}$ nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất

b) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}2x-3y=2\\ 4x-6y=6\end{array}\right.$

Vì $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{3}=\frac{c}{c\text{'}}$ nên hệ phương trình trên vô nghiệm

c) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}2x-3y=2\\ 4x-6y=4\end{array}\right.$

Vì $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}=\frac{1}{2}$ nên hệ phương trình vô số nghiệm.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 8 trang 6 SBT Toán 9 Tập 2: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có phải là một nghiệm của hệ phương trình... 

Câu hỏi 9 trang 7 SBT Toán 9 Tập 2:Hãy biểu diễn y qua x ở mỗi phương trình (nếu có thể) rồi đoán...

Câu hỏi 10 trang 7 SBT Toán 9 Tập 2: Cho phương trình 3x – 2y = 5...

Câu hỏi 12 trang 8 SBT Toán 9 Tập 2: Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau...

Câu hỏi 13 trang 8 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hệ phương trình...

Câu hỏi 14 trang 8 SBT Toán 9 Tập 2: Vẽ hai đường thẳng: (d₁): x + y = 2 và (d₂): 2x + 3y = 0...

Câu hỏi 15 trang 8 SBT Toán 9 Tập 2: Hỏi bốn đường thẳng sau có đồng quy không...

Bài tập bổ sung

Câu hỏi 1 trang 8 SBT Toán 9 Tập 2: Không vẽ đồ thị, hãy giải thích vì sao các hệ phương trình ...

Câu hỏi 2 trang 8 SBT Toán 9 Tập 2: Những hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm...