Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 82 trang 18 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh: $x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^2+x\sqrt{3}+1$. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được khi x bằng bao nhiêu.

Lời giải:

a) $x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

VP $={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

$$\begin{gathered} =x^2+2.x.\frac{\sqrt{3}}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4} \\ =x^2+x\sqrt{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \end{gathered}$$

$=x^2+\sqrt{3}x+1$ = VT (điều phải chứng minh)

b) Theo câu a ta có:

$x^2+x\sqrt{3}+1={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

Vì ${\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\ge 0$ với mọi x

Do đó ${\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\ge \frac{1}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\iff x+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$\iff x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$.

Vậy $x^2+x\sqrt{3}+1$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{4}$ khi $x=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 80 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 81 trang 18 SBT Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức...

Bài 83 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ...

Bài 84 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết...

Bài 85 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 86 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức...

Bài 87 trang 19 SBT Toán 9 Tập 1: Với ba số a, b, c không âm...

Bài 8.1 trang 20 SBT Toán 9 Tập 1: Bất phương trình...