Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn

Giải Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Video Giải Bài 26 trang 115 Toán lớp 9 tập 1

Bài 26 trang 115 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Lời giải:

a)

Vì AB, AC là các tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC và $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (do tính chất các tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tam giác ABC có: AB = AC 

Do đó, tam giác ABC cân tại A

Vì $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ nên AO là tia phân giác của góc A, do đó, AO đồng thời là đường cao ứng với cạnh BC

$\Rightarrow OA\perp BC$ (1)

b)

Điểm B nằm trên đường tròn tâm O có đường kính CD nên có tam giác CBD vuông tại B (do nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông)

$\Rightarrow \widehat{CBD}={90}^o$

$\Rightarrow BC\perp BD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD // OA (do cùng vuông góc với BC)

c)

Nối O với B thì ta có: $OB\perp AB$ (do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B)

Xét tam giác OAB vuông tại B (do $OB\perp AB$)

Ta có:

$$\begin{gathered} \sin A_1=\frac{OB}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \widehat{A_1}={30}^o \\ \Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{A_1}={30}^o \\ \Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2} \\ ={30}^o+{30}^o={60}^o \end{gathered}$$

Xét tam giác ABC cân tại A có: $\widehat{BAC}={60}^o$

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

$\Rightarrow$ AB = BC = CA

Xét tam giác OAB vuông tại B

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{O}^2=A{B}^2+O{B}^2 \\ \Rightarrow A{B}^2=A{O}^2-O{B}^2 \\ =4^2-2^2=12 \\ \Rightarrow AB=BC=CA \\ =\sqrt{12}=2\sqrt{3} \left(cm\right) \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 1 trang 113 Toán 9 Tập 1: Cho hình 79 trong đó AB, AC theo thứ tự...

Câu hỏi 2 trang 114 Toán 9 Tập 1: Hãy nêu cách tìm tâm của một miếng gỗ hình tròn...

Câu hỏi 3 trang 114 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác...

Câu hỏi 4 trang 115 Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC, K là giao điểm các đường phân giác...

Bài 27 trang 115 Toán 9 Tập 1: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O)...

Bài 28 trang 116 Toán 9 Tập 1: Cho góc xAy khác góc bẹt...

Bài 29 trang 116 Toán 9 Tập 1: Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax...