Câu hỏi:
17/06/2026 1,251
Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.
Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB.
Ta có: \(\overrightarrow {HO} = \left( { - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HA} = \left( {1 - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HC} = \left( {1 - a;3 - b} \right)\).
Do đó: \(HO = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + \left( { - {b^2}} \right)} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), \(HA = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \),
\(HC = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \).
Vì HO = HA nên \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2}\)
⇔ a2 = a2 – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = \(\frac{1}{2}\).
Vì HA = HB nên \(\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\)
⇔ b2 = b2 – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = \(\frac{3}{2}\).
Thay a = \(\frac{1}{2}\) và b = \(\frac{3}{2}\) vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn.
Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ \(\left( {\frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.
Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB.
Ta có: \(\overrightarrow {HO} = \left( { - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HA} = \left( {1 - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HC} = \left( {1 - a;3 - b} \right)\).
Do đó: \(HO = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + \left( { - {b^2}} \right)} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), \(HA = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \),
\(HC = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \).
Vì HO = HA nên \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2}\)
⇔ a2 = a2 – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = \(\frac{1}{2}\).
Vì HA = HB nên \(\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\)
⇔ b2 = b2 – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = \(\frac{3}{2}\).
Thay a = \(\frac{1}{2}\) và b = \(\frac{3}{2}\) vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn.
Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ \(\left( {\frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆2: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;
b) d1: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\) (t, s là các tham số).
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆2: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;
b) d1: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\) (t, s là các tham số).
Câu 2:
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y = - 5 - 4t\end{array} \right.\).
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
∆1: x – 2y + 3 = 0,
∆2: 3x – y – 1 = 0.
a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\).
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 với nghiệm của hệ phương trình trên.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
∆1: x – 2y + 3 = 0,
∆2: 3x – y – 1 = 0.
a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\).
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 với nghiệm của hệ phương trình trên.
Câu 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.
Câu 5:
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?
Câu 6:
B. Bài tập
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và ∆2: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0.
b) d1: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 và d2: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0.
c) m1: x – 2y + 1 = 0 và m2: 3x + y – 2 = 0.
B. Bài tập
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và ∆2: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0.
b) d1: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 và d2: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0.
c) m1: x – 2y + 1 = 0 và m2: 3x + y – 2 = 0.
Câu 7:
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 5 + 3t'\end{array} \right.\).
Câu 8:
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: x + 4y – 3 = 0 và ∆2: x – 4y – 3 = 0;
b) ∆1: x + 2y – \(\sqrt 5 \)= 0 và ∆2: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0.
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: x + 4y – 3 = 0 và ∆2: x – 4y – 3 = 0;
b) ∆1: x + 2y – \(\sqrt 5 \)= 0 và ∆2: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0.
Câu 9:
Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = a(x0 – x1) + b(y0 – y1) = ax0 + by0 + c.
c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = a(x0 – x1) + b(y0 – y1) = ax0 + by0 + c.
c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Câu 10:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 11:
Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1.
Câu 12:
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.
Câu 13:
Tính góc giữa hai đường thẳng
∆1: x + 3y + 2 = 0 và ∆2: y = 3x + 1.
Câu 14:
Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆1, ∆2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _1},\,\,{\overrightarrow n _2}\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);
b) cosφ và cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).
Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆1, ∆2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _1},\,\,{\overrightarrow n _2}\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);
b) cosφ và cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).
Câu 15:
Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải Ví dụ 4.
