Câu hỏi:
17/06/2026 8,922
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆2: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;
b) d1: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\) (t, s là các tham số).
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆2: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;
b) d1: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\) (t, s là các tham số).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\) và của ∆2: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Ta có:
cosφ = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó, góc giữa ∆1 và ∆2 là φ = 30°.
b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\,4} \right)\), của đường thẳng d2 là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right)\), của đường thẳng d2 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,1} \right)\).
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Ta có:
cosα = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {4.3 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {20} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, góc giữa d1 và d2 là α = 45°.
Hướng dẫn giải
a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆1: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\sqrt 3 ;\,\,1} \right)\) và của ∆2: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).
Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Ta có:
cosφ = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt 3 .1 + 1.\sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2.2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó, góc giữa ∆1 và ∆2 là φ = 30°.
b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,\,4} \right)\), của đường thẳng d2 là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right)\), của đường thẳng d2 là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {3;\,1} \right)\).
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Ta có:
cosα = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\) \( = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\,\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {4.3 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {20} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, góc giữa d1 và d2 là α = 45°.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 3t\\y = - 5 - 4t\end{array} \right.\).
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
∆1: x – 2y + 3 = 0,
∆2: 3x – y – 1 = 0.
a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\).
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 với nghiệm của hệ phương trình trên.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
∆1: x – 2y + 3 = 0,
∆2: 3x – y – 1 = 0.
a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\).
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 với nghiệm của hệ phương trình trên.
Câu 3:
Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Câu 4:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.
Câu 5:
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?
Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).
a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?
Câu 6:
B. Bài tập
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và ∆2: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0.
b) d1: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 và d2: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0.
c) m1: x – 2y + 1 = 0 và m2: 3x + y – 2 = 0.
B. Bài tập
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và ∆2: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0.
b) d1: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 và d2: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0.
c) m1: x – 2y + 1 = 0 và m2: 3x + y – 2 = 0.
Câu 7:
Tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 5 + 3t'\end{array} \right.\).
Câu 8:
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: x + 4y – 3 = 0 và ∆2: x – 4y – 3 = 0;
b) ∆1: x + 2y – \(\sqrt 5 \)= 0 và ∆2: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0.
Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) ∆1: x + 4y – 3 = 0 và ∆2: x – 4y – 3 = 0;
b) ∆1: x + 2y – \(\sqrt 5 \)= 0 và ∆2: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0.
Câu 9:
Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = a(x0 – x1) + b(y0 – y1) = ax0 + by0 + c.
c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = a(x0 – x1) + b(y0 – y1) = ax0 + by0 + c.
c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Câu 10:
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 11:
Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1.
Câu 12:
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.
Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.
Câu 13:
Tính góc giữa hai đường thẳng
∆1: x + 3y + 2 = 0 và ∆2: y = 3x + 1.
Câu 14:
Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆1, ∆2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _1},\,\,{\overrightarrow n _2}\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);
b) cosφ và cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).
Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆1, ∆2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _1},\,\,{\overrightarrow n _2}\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);
b) cosφ và cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).
Câu 15:
Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải Ví dụ 4.
