Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1.

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: \(\sqrt 3 x\) + y – 4 = 0 và ∆₂: x + \(\sqrt 3 y\) + 3 = 0;

b) d₁: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\) và d₂: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + s\\y = 1 - 3s\end{array} \right.\)                 (t, s là các tham số).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

∆₁: x – 2y + 3 = 0,

∆₂: 3x – y – 1 = 0.

a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

b) Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\3x - y - 1 = 0\end{array} \right.\).

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆₁ và ∆₂ với nghiệm của hệ phương trình trên.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆.

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆.

Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11).

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ?

B. Bài tập

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: \(3\sqrt 2 x + \sqrt 2 y - \sqrt 3 = 0\) và ∆₂: 6x + 2y\( - \sqrt 6 \) = 0.

b) d₁: x \( - \sqrt 3 y\) + 2 = 0 và d₂: \(\sqrt 3 \)x – 3y + 2 = 0.

c) m₁: x – 2y + 1 = 0 và m₂: 3x + y – 2 = 0.

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) ∆₁: x + 4y – 3 = 0 và ∆₂: x – 4y – 3 = 0;

b) ∆₁: x + 2y – \(\sqrt 5 \)= 0 và ∆₂: 2x + 4y – \(3\sqrt 5 \) = 0.

Cho điểm M(x₀; y₀) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {a;\,b} \right)\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).

a) Chứng minh rằng \(\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .HM\).

b) Giả sử H có tọa độ (x₁; y₁). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {HM} \) = a(x₀ – x₁) + b(y₀ – y₁) = ax₀ + by₀ + c.

c) Chứng minh rằng \(HM = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.

a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.

b) Lập phương trình đường thẳng ∆₀ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α_∆ và α_∆0.

d) Gọi M là giao điểm của ∆₀ với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα_∆ = a.

Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆₁, ∆₂ tương ứng có các vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _1},\,\,{\overrightarrow n _2}\). Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:

a) góc φ và góc \(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\);

b) cosφ và cos\(\left( {{{\overrightarrow n }_1},\,{{\overrightarrow n }_2}} \right)\).