Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với $\mathrm{A}\left(0;1;1\right),\mathrm{B}\left(0;2;1\right),$$\mathrm{C}\left(-1;0;2\right),\mathrm{D}\left(-3;2;5\right)$. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Cho hai cấp số cộng $\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\right):{\mathrm{a}}_1=4,{\mathrm{a}}_2=7,...,{\mathrm{a}}_{100}$ và $\left({\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\right):{\mathrm{b}}_1=1,{\mathrm{b}}_2=6,...,{\mathrm{b}}_{100}$. Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên?

Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tô?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x};\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ về phía bên trái trục tung.

Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và $\mathrm{SA}=\mathrm{SB}=\mathrm{SC}=\mathrm{a}.$ Gọi B′,C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên AB,AC. Tính thể tích hình chóp S.AB′C′.

Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC), tam giác ABC vuông tại B và $\mathrm{SA}=\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$. Tính góc giữa đường thẳng SB và mp(SAC).

Rút gọn biểu thức $\mathrm{P}=\frac{\sqrt[6]{\mathrm{a}}-\sqrt[6]{\mathrm{b}}}{\sqrt[3]{\mathrm{a}}.{\mathrm{b}}^{\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{\mathrm{b}}.{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}}$, (với $\mathrm{a},\mathrm{b}>0$)

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}-2$. Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\frac{1-\mathrm{x}}{\mathrm{x}-2}$?

Tìm hệ số của $\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}$ trong khai triển ${\left(1-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^{10}$.

Tìm các hàm lẻ trong các hàm số sau:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $\mathrm{a}, \mathrm{SA}=\mathrm{h}$ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Kẻ SH vuông góc với BM tại H. Thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất là

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-1}$ tại điểm $\mathrm{A}\left(2;3\right)$ là

Cho hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{mx}, \mathrm{khi} \mathrm{x}\le 1\\ \frac{\sqrt{\mathrm{x}+3}-2}{\mathrm{x}-1}, \mathrm{khi} \mathrm{x}>1\end{array}\right.$. Tìm m đề hàm số đã cho liên tục tại $\mathrm{x}=1$.

Người ta muốn thiết kế một bế cá bằng kính không có nắp với thể tích là $80{\mathrm{dm}}^3$ và chiều cao là 4dm. Đặt một vách ngăn có cùng bán kính ở giữa, chia bể thành hai ngăn, với các kích thước là x,y (dm) như hình vẽ. Tính x,y đế bể cá tốn ít nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ngăn ở giữa), coi bề dày các tâm kính là như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.

Biết $\frac{1}{2}\ln {\left({\mathrm{u}}^2+4\right)}_1^2=\frac{1}{2}\left(\ln 8-\ln 5\right)$$=\frac{1}{2}\left(3\ln 2-\ln 5\right)$, với a, b là các số nguyên. Tính tổng a+b bằng: